Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória

[bartdias]

Prezados,

Se alguém puder ajudar nesta questão. Não possuo o gabarito da mesma. Questão dissertativa.

Desde já agradeço.

Na cidade de JURUPARI todos os números de telefone têm prefixo 234 ou 235, seguido de 4 algarismos escolhidos dentre os algarismos do sistema decimal. Todos os telefones em que esses 4 algarismos são iguais, os que têm os dois primeiros desses 4 algarismos iguais a zero e os que têm os dois últimos desses quatro algarismos iguais a zero são reservados para instituições públicas. Assim, quantos números de telefone restam em JURUPARI, para uso do restante da população?

[pietrotavares]

Olá bartdias,

Acredito que a melhor forma de se resolver seja pelo princípio da exclusão, e mesmo assim vai dar um pouco de trabalho. Vamos lá.

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[tex3](I)[/tex3]

Vamos analisar primeiro os casos de prefixo 234.
Quatro algarismos iguais: {

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[tex3](234)0000, (234)1111, (234)2222, ... (234)9999[/tex3]

} portanto, 10 casos.
Dois primeiros algarismos iguais a zero:

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[tex3](234)00XY[/tex3]

, temos 9 opções para X e 8 opções para Y, resultando em 72 casos.
Dois últimos algarismos iguais a zero:

Código: Selecionar tudo

[tex3](234)XY00[/tex3]

, temos 9 opções para X e 8 opções para Y, resultando em 72 casos.
Concluímos que do total de números possíveis, 154 estarão reservados às instituições públicas.

Total de números possíveis:

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[tex3](234)XYWZ[/tex3]

, temos 10 opções para X, 10 opções para Y, 10 opções para W e 10 opções para Z, o que resulta em 10000 números possíveis.

Restará para a população

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[tex3]10000 - 154 = \boxed{9846}[/tex3]

números de telefone

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[tex3](II)[/tex3]

Para o prefixo 235 vai ser a mesma coisa, teremos

Código: Selecionar tudo

[tex3]\boxed{9846}[/tex3]

números de telefone disponíveis para a população.

Logo, teremos [tex2]9846 + 9846 = \boxed{\boxed{19692}}[/tex2] números de telefone disponíveis para a população.


Não tenho certeza se está certo, posso ter esquecido de considerar algo. Mas postei pois talvez tenha algo na minha resolução que possa lhe servir de aprendizado.
Abraço!

[csmarcelo]

Tenho apenas um ressalva.

os que têm os dois primeiros desses 4 algarismos iguais a zero e os que têm os dois últimos desses quatro algarismos iguais a zero são reservados para instituições públicas.

Não é dito que APENAS os dois primeiros ou os dois últimos são iguais a zero. Assim, creio que, por exemplo, o número (234)0007 também deveria ser considerado como o de uma instituição pública.

[bartdias]

Olá pietrotavares,

Primeiramente agradeço por sua resposta a minha questão.

Refazendo aqui e acrescentado outras ideias a s suas creio que 2 casos podem ser acrescentados, a ver:

Dois primeiros algarismos iguais a zero: (234)00XY, teremos:

se x=0 então teríamos 9 opções para y.
se y=0 então teríamos 9 opções para x.
se x e y diferentes de zero então teríamos 9 opções para x e 9 opções para y. Que daria 81 opções.

Assim, o total de opções seria de 99 números neste caso.

A ideia então pode ser repetida para os demais casos.

Creio que seja isso. Certo?