Ensino Médio ⇒ Sistemas de numeração Tópico resolvido

[Caliraut]

A representação decimal de um número natural a consiste de n algarismos, enquanto a representação de a^3 consiste de m algarismos.Assinale,dentre os valores abaixo,aquele que m+n não pode assumir:

A)2007
B)2008
C)2009
D)2010
E)2011

[Caliraut]

Ainda sem resposta.

[undefinied3]

Note que se tivermos, por exemplo, o número 9343, podemos escrevê-lo notação científica:

Código: Selecionar tudo

[tex3]9,343.10^3[/tex3]

Agora note que, não importa quão grande seja a parte decimal do número, ele sempre será menor que 10. Se elevarmos o número todo ao cubo, o expoente do 10 é multiplicado por 3 e o fator que acompanha o 10 nunca será um número maior que 3 algarismos. Por exemplo:

Código: Selecionar tudo

[tex3](9,99.10^2)^3=997,002999.10^6[/tex3]

E logicamente, para o menor caso, o número continuará tendo um algarismo, exemplo:

Código: Selecionar tudo

[tex3](1.10^2)^3=1.10^6[/tex3]

Então se um número natural tem n algarismos, ele é algo do tipo:

Código: Selecionar tudo

[tex3]x.10^{n-1}[/tex3]

Ao elevá-lo ao cubo:

Código: Selecionar tudo

[tex3]x^3.10^{3n-3}[/tex3]

Daí tiramos que o total de algarismos é um número entre 3n-2 e 3n, então

Código: Selecionar tudo

[tex3]3n-2 \leq m \leq 3n[/tex3]

Assim:

Código: Selecionar tudo

[tex3]4n-2 \leq m+n \leq 4n[/tex3]

Dos valores apresentados, 2007=502.4-1, 2008=502.4, 2009=503.4-3, 2010=503.4-2, 2011=503.4-1
De todos eles, o único que não consta no intervalo seria 2009, pois ele é do tipo

Código: Selecionar tudo

[tex3]4n-3[/tex3]

, então creio que a resposta seja 2009.

[Caliraut]

O resultado obtido condiz com o gabarito, obrigado pela solução

[314159265]

Boa solução, cara! Gostei. Parabéns.