Ensino Médio ⇒ números complexos

[gussot10]

Como achar as raízes quadradas do número complexo Z=8+6i, utilizando a fórmula de moivre para radiciação?

[csmarcelo]

Acho que pela Fórmula de Moivre não rola.

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[tex3]\mid z\mid=10[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\cos\theta=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\\\sin\theta=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\end{cases}\Rightarrow\theta=?[/tex3]

[gussot10]

Mesmo assim vlw.

[undefinied3]

Tem como porque é raiz quadrada, pra raízes maiores ficaria um saco. Vou mostrar dois jeitos:

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[tex3]z=8+6i=9-1+6i=3^2+i^2+2.3.i=(3+i)^2[/tex3]

Então

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[tex3]\sqrt{z}=\pm(3+i)[/tex3]

Por Moivre, por mais que não saibamos explicitamente o ângulo, só precisamos achar o seno e o coseno do arco metade.

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[tex3]z=10cis(\theta)[/tex3]

, com

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[tex3]cos(\theta)=\frac{4}{5}[/tex3]

e

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[tex3]sen(\theta)=\frac{3}{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{z}=\pm \sqrt{10}cis(\frac{\theta}{2})[/tex3]

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[tex3]cos(\theta/2)=\sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}[/tex3]

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[tex3]sen(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-cos(\theta)}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}[/tex3]

Substituindo os valores, encontramos o mesmo resultado.

[gussot10]

Obrigado undefinied3