Ensino MédioConjuntos numéricos Tópico resolvido

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Dez 2016 10 17:25

Conjuntos numéricos

Mensagem não lida por paulojorge » Sáb 10 Dez, 2016 17:25

Considere o número \alpha = 1 + \frac{4}{10} + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{3}} + \frac{1}{10^{4}} + .......
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.

Como se resolve? alguém ajuda prfv.


Gabarito \alpha = 1,41111... = \frac{127}{90}

Última edição: paulojorge (Sáb 10 Dez, 2016 17:25). Total de 2 vezes.


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Dez 2016 10 17:51

Re: Conjuntos numéricos

Mensagem não lida por pietrotavares » Sáb 10 Dez, 2016 17:51

Suspeito que você tenha digitado errado, sendo na verdade \alpha = 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3}...

Note que \alpha nada mais é que a soma de uma progressão geométrica infinita com a_1 = 1 e razão q = \frac{1}{10}

Soma de uma progressão geométrica infinita:
S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q}
S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}
S_{\infty} = \frac{1}{\frac{9}{10}}
\boxed{S_{\infty} = \frac{10}{9}}

Logo, [tex2]\boxed{\boxed{\alpha = 1,11...}}[/tex2] (forma decimal) e [tex2]\boxed{\boxed{\alpha = \frac{10}{9}}}[/tex2] (forma de fração irredutível).


Abraço.

Última edição: pietrotavares (Sáb 10 Dez, 2016 17:51). Total de 1 vez.


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Dez 2016 10 17:56

Re: Conjuntos numéricos

Mensagem não lida por paulojorge » Sáb 10 Dez, 2016 17:56

É do livro do IEZZI e está da forma que escrevi mesmo com \frac{4}{10}, deve estar errado ;s
Última edição: paulojorge (Sáb 10 Dez, 2016 17:56). Total de 1 vez.


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Dez 2016 10 19:28

Re: Conjuntos numéricos

Mensagem não lida por pietrotavares » Sáb 10 Dez, 2016 19:28

Entendo, nesse caso, vamos separar o \alpha em duas partes para ficar mais fácil, vou chamá-las de \alpha_1 e \alpha_2:

\alpha_1 = 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + 1\frac{1}{10^3} ...
\alpha_2 = \frac{4}{10} - \frac{1}{10}
\alpha_2 = \frac{3}{10}

Perceba que: \alpha = \alpha_1 + \alpha_2

1) Cálculo de \alpha_1
Da minha mensagem anterior, temos que \alpha_1 = \frac{10}{9}

2) Cálculo de \alpha
\alpha = \alpha_1 + \alpha_2
\alpha = \frac{10}{9} + \frac{3}{10}
\alpha = \frac{100}{90} + \frac{27}{90}
\alpha = \boxed{\frac{127}{90}}

Abraço.
Última edição: pietrotavares (Sáb 10 Dez, 2016 19:28). Total de 1 vez.


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Dez 2016 10 21:40

Re: Conjuntos numéricos

Mensagem não lida por paulojorge » Sáb 10 Dez, 2016 21:40

Valeuu brother!!!



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