Ensino Médio

Mensagem não lidapor **ludwing** » Sex 09 Dez, 2016 23:44

A soma das raízes da equação:

[tex3]3^{3x} -13\cdot 3^{2x} +39\cdot 3^{x} -27 = 0[/tex3]

A) -1
B) 2
C) 0
D) 3

Seja [tex3]y= 3^x[/tex3] . Então, a equação resultante é [tex3]y^3 -13 y^2 +39y- 27 = 0[/tex3] . A multiplicação das raízes dessa equação vale 27 (pelas relações de Girard). Portanto, temos que [tex3]y_1 y_2 y _3 = 27 \Longrightarrow 3^{x_1} 3^{x_2} 3^{x_3} = 27 \Longrightarrow 3^{x_1 + x_2 + x_3} = 27[/tex3] . Portanto temos que [tex3]x_1 + x _2 + x _ 3 = 3[/tex3] .

pietrotavares

[tex3]3^{3x} - 13.3^{2x} + 39.3^x - 27 = 0[/tex3]
[tex3](3^x)^3 - 13.(3^x)^2 + 39.(3^x) - 27 = 0[/tex3]
Digamos que [tex3]3^x = t[/tex3] , a equação resulta em:
[tex3]t^3 - 13.t^2 + 39.t - 27 = 0[/tex3]
Note que a soma dos coeficientes é zero ([tex3]1 + (-13) + 39 + (-27) = 0[/tex3] ). [tex3]\rightarrow 1[/tex3] é raíz, isto é, [tex3]3^x = 1[/tex3] satisfaz a equação, logo [tex3]\boxed{x=0}[/tex3] já é a primeira raíz que encontramos.

Agora é abaixar o grau da equação por Briot-Ruffini, resolver a equação do 2º grau em função de [tex3]t[/tex3] e fazer [tex3]3^x = t[/tex3] para encontrar os valores de [tex3]x[/tex3] .
O enunciado pede a soma dos [tex3]x[/tex3] .

Abraço.

Oi, gente. Alguém conseguiria ver a possibilidade de resolver esse problema sem utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini e sem usar as relações de Girard? Eu, para entendê-lo, pesquisei como funciona o algoritmo de Briot-Ruffini e as relações de Girard (ainda não sei de onde vem, e isso me dá uma coisa de raiva... mas meu material depois me conta; só pesquise para entender rapidamente). Até que entendi e vi que não é complicado, a questão é: eu estou estudando equações exponenciais agora e esse exercício caiu nesse módulo... duh. Logo eu presumo que exista a possibilidade de ele ser resolvido sem esse algoritmo e sem as relações de Girard. É claro, pode ser que não tenha como. Mas se vocês verem algo, por favor de conte. ♥♥♥

RedChet

[tex3]3^x=y[/tex3]

[tex3]3^{3x}-13.3^{2x}+39.3^{x}-27=0[/tex3]

[tex3]y^3-13y^2+39y-27=0[/tex3]

[tex3]y^3-13y^2+13.3y-27=0[/tex3]

[tex3]y^3-27-13y(y-3)=0[/tex3]

[tex3]y^3-3^3-13y(y-3)=0[/tex3]

[tex3](y-3)(y^2+3y+9)-13y(y-3)=0[/tex3]

[tex3](y-3)(y^2+3y+9-13y)[/tex3]

[tex3](y-3)(y^2-10y+9)[/tex3]

[tex3](y-3)(y-9)(y-1)[/tex3]

[tex3]y{}'=3[/tex3]
[tex3]y{}''=9[/tex3]
[tex3]y{}'''=1[/tex3]

[tex3]3^x=3 \rightarrow x=1[/tex3]
[tex3]3^x=9 \rightarrow x=2[/tex3]
[tex3]3^x=1 \rightarrow x=0[/tex3]

A soma das raízes da equação:

[tex3]x{}'+x{}''+x{}'''=1+2+0[/tex3]

D)3

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