Ensino MédioEquações polinomiais ou algébricas Tópico resolvido

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Aurelio
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Equações polinomiais ou algébricas

Mensagem não lida por Aurelio »

Sejam [tex3]p(x) = x^{2} - 6x - 6[/tex3] e [tex3]q(x) = [p(x)]^{2} + 4.p(x) - 140[/tex3] duas funções polinomiais. Encontre todas as raízes reais de q(x).

R: -2, 2, 4, 8

Última edição: Aurelio (Dom 04 Dez, 2016 02:14). Total de 1 vez.



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petras
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Dez 2016 04 09:17

Re: Equações polinomiais ou algébricas

Mensagem não lida por petras »

Fazendo [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 6 = y teremos:

q(x) = [tex3]y^{2}[/tex3] + 4y - 140 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 576 [tex3]\rightarrow[/tex3] y = 10 e y' = -14

Portanto:

[tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 6 = 10 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 16 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 100 [tex3]\rightarrow[/tex3] x = -2 e x = 8

e

[tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 6 = -14 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x + 8 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 4 [tex3]\rightarrow[/tex3] x = 2 e x = 4


S = {x = -2, x' = 2 e x'' = 4; x''' = 8}

Última edição: petras (Dom 04 Dez, 2016 09:17). Total de 1 vez.



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SCOFIELD
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Dez 2016 04 09:35

Re: Equações polinomiais ou algébricas

Mensagem não lida por SCOFIELD »

Fiz por um caminho mais longo e demorado, mas propositalmente, pois abrange praticamente todo o conteúdo de polinômios.

[tex3]p(x) = x^{2} - 6x - 6[/tex3]
[tex3]q(x) = [p(x)]^{2} + 4.p(x) - 140[/tex3]

Desenvolvendo [tex3]p(x)^2[/tex3] :
[tex3](x^2-6x-6)^2 = x^4-12x^3+24x^2+72x+36[/tex3]

Agora desenvolvendo [tex3]4[p(x)][/tex3]
[tex3]4(x^2-24x-24) = 4x^2-24x-24[/tex3]

Substituindo em q(x):
[tex3]q(x) =x^4-12x^3+24x^2+72x+36+4x^2-24x-24-140[/tex3]
[tex3]q(x)= x^4-12x^3+28x^2+48x-128[/tex3]

Agora pegando as possíveis raízes reais, que são os divisores do termo independente temos:
d(-128) =[tex3]\pm 1, \pm 2, \pm 4 , \pm 8[/tex3] ....

Por inspeção 2 será uma raiz:
[tex3]q(2)= x^4-12x^3+28x^2+48x-128[/tex3]
[tex3]q(2)=2^4-12.2^3+28.2^2+48.2-128[/tex3]
[tex3]q(2) = 0[/tex3]

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir o polinômio ao 3 grau temos:
briot.jpg
Ficando: [tex3]x^3-10x^2+8x+64[/tex3]

Novamente aplicando uma das possíveis raízes reais, o -2:
[tex3]q(-2) = x^3+10x^2+8x+64[/tex3]
[tex3]q(-2) = -2^3-10.(-2^2)+8.(-2)+64 -64+64[/tex3]
[tex3]q(-2) = 0[/tex3]

Aplicando Briot-Ruffini novamente:
briot1.jpg
Ficando somente [tex3]q(x) = x^2-12x+32[/tex3]

Por soma e produto (Relação de Girard):
[tex3]S = \frac{-b}{a} = \frac{-(-12)}{1} = 12[/tex3]
[tex3]P = \frac{c}{a} = 32[/tex3]

As últimas raízes então serão 8 e 4:
[tex3]8 + 4 = 12[/tex3]
[tex3]8x4 = 32[/tex3]

Portanto as raízes serão: [2, -2, 8, 4]
Última edição: SCOFIELD (Dom 04 Dez, 2016 09:35). Total de 1 vez.



danjr5
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Re: Equações polinomiais ou algébricas

Mensagem não lida por danjr5 »

Ou,
Aurelio escreveu:Sejam [tex3]p(x) = x^{2} - 6x - 6[/tex3] e [tex3]q(x) = [p(x)]^{2} + 4.p(x) - 140[/tex3] duas funções polinomiais. Encontre todas as raízes reais de q(x).

R: -2, 2, 4, 8
\\ \mathsf{q(x) = [p(x)]^2 + 4 \cdot p(x) - 140} \\\\ \mathsf{q(x) = \left [ p(x) + 14 \right ] \cdot \left [ p(x) - 10 \right ]} \\\\ \mathsf{q(x) = \left ( x^2 - 6x - 6 + 14 \right ) \cdot \left ( x^2 - 6x - 6 - 10 \right )} \\\\ \mathsf{q(x) = (x^2 - 6x + {8}) \cdot (x^2 - 6x - 16)} \\\\ \mathsf{q(x) = \left [ (x - 2)(x - 4) \right ] \cdot \left [ (x - {8})(x + 2) \right ]} \\\\ \mathsf{q(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 4)(x - {8})} \\\\ \boxed{\mathsf{S = \left \{ \pm 2, 4, 8 \right \}}}

Última edição: danjr5 (Dom 04 Dez, 2016 18:33). Total de 1 vez.


"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)

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