Sejam [tex3]p(x) = x^{2} - 6x - 6[/tex3]
R: -2, 2, 4, 8
e [tex3]q(x) = [p(x)]^{2} + 4.p(x) - 140[/tex3]
duas funções polinomiais. Encontre todas as raízes reais de q(x).Ensino Médio ⇒ Equações polinomiais ou algébricas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2016
04
02:14
Equações polinomiais ou algébricas
Última edição: Aurelio (Dom 04 Dez, 2016 02:14). Total de 1 vez.
Dez 2016
04
09:17
Re: Equações polinomiais ou algébricas
Fazendo [tex3]x^{2}[/tex3]
q(x) = [tex3]y^{2}[/tex3] + 4y - 140 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 576 [tex3]\rightarrow[/tex3] y = 10 e y' = -14
Portanto:
[tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 6 = 10 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 16 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 100 [tex3]\rightarrow[/tex3] x = -2 e x = 8
e
[tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 6 = -14 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x + 8 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 4 [tex3]\rightarrow[/tex3] x = 2 e x = 4
S = {x = -2, x' = 2 e x'' = 4; x''' = 8}
- 6x - 6 = y teremos:q(x) = [tex3]y^{2}[/tex3] + 4y - 140 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 576 [tex3]\rightarrow[/tex3] y = 10 e y' = -14
Portanto:
[tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 6 = 10 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 16 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 100 [tex3]\rightarrow[/tex3] x = -2 e x = 8
e
[tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 6 = -14 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x + 8 [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] = 4 [tex3]\rightarrow[/tex3] x = 2 e x = 4
S = {x = -2, x' = 2 e x'' = 4; x''' = 8}
Última edição: petras (Dom 04 Dez, 2016 09:17). Total de 1 vez.
Dez 2016
04
09:35
Re: Equações polinomiais ou algébricas
Fiz por um caminho mais longo e demorado, mas propositalmente, pois abrange praticamente todo o conteúdo de polinômios.
[tex3]p(x) = x^{2} - 6x - 6[/tex3]
[tex3]q(x) = [p(x)]^{2} + 4.p(x) - 140[/tex3]
Desenvolvendo [tex3]p(x)^2[/tex3] :
[tex3](x^2-6x-6)^2 = x^4-12x^3+24x^2+72x+36[/tex3]
Agora desenvolvendo [tex3]4[p(x)][/tex3]
[tex3]4(x^2-24x-24) = 4x^2-24x-24[/tex3]
Substituindo em q(x):
[tex3]q(x) =x^4-12x^3+24x^2+72x+36+4x^2-24x-24-140[/tex3]
[tex3]q(x)= x^4-12x^3+28x^2+48x-128[/tex3]
Agora pegando as possíveis raízes reais, que são os divisores do termo independente temos:
d(-128) =[tex3]\pm 1, \pm 2, \pm 4 , \pm 8[/tex3] ....
Por inspeção 2 será uma raiz:
[tex3]q(2)= x^4-12x^3+28x^2+48x-128[/tex3]
[tex3]q(2)=2^4-12.2^3+28.2^2+48.2-128[/tex3]
[tex3]q(2) = 0[/tex3]
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir o polinômio ao 3 grau temos: Ficando: [tex3]x^3-10x^2+8x+64[/tex3]
Novamente aplicando uma das possíveis raízes reais, o -2:
[tex3]q(-2) = x^3+10x^2+8x+64[/tex3]
[tex3]q(-2) = -2^3-10.(-2^2)+8.(-2)+64 -64+64[/tex3]
[tex3]q(-2) = 0[/tex3]
Aplicando Briot-Ruffini novamente: Ficando somente [tex3]q(x) = x^2-12x+32[/tex3]
Por soma e produto (Relação de Girard):
[tex3]S = \frac{-b}{a} = \frac{-(-12)}{1} = 12[/tex3]
[tex3]P = \frac{c}{a} = 32[/tex3]
As últimas raízes então serão 8 e 4:
[tex3]8 + 4 = 12[/tex3]
[tex3]8x4 = 32[/tex3]
Portanto as raízes serão: [2, -2, 8, 4]
[tex3]p(x) = x^{2} - 6x - 6[/tex3]
[tex3]q(x) = [p(x)]^{2} + 4.p(x) - 140[/tex3]
Desenvolvendo [tex3]p(x)^2[/tex3] :
[tex3](x^2-6x-6)^2 = x^4-12x^3+24x^2+72x+36[/tex3]
Agora desenvolvendo [tex3]4[p(x)][/tex3]
[tex3]4(x^2-24x-24) = 4x^2-24x-24[/tex3]
Substituindo em q(x):
[tex3]q(x) =x^4-12x^3+24x^2+72x+36+4x^2-24x-24-140[/tex3]
[tex3]q(x)= x^4-12x^3+28x^2+48x-128[/tex3]
Agora pegando as possíveis raízes reais, que são os divisores do termo independente temos:
d(-128) =[tex3]\pm 1, \pm 2, \pm 4 , \pm 8[/tex3] ....
Por inspeção 2 será uma raiz:
[tex3]q(2)= x^4-12x^3+28x^2+48x-128[/tex3]
[tex3]q(2)=2^4-12.2^3+28.2^2+48.2-128[/tex3]
[tex3]q(2) = 0[/tex3]
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir o polinômio ao 3 grau temos: Ficando: [tex3]x^3-10x^2+8x+64[/tex3]
Novamente aplicando uma das possíveis raízes reais, o -2:
[tex3]q(-2) = x^3+10x^2+8x+64[/tex3]
[tex3]q(-2) = -2^3-10.(-2^2)+8.(-2)+64 -64+64[/tex3]
[tex3]q(-2) = 0[/tex3]
Aplicando Briot-Ruffini novamente: Ficando somente [tex3]q(x) = x^2-12x+32[/tex3]
Por soma e produto (Relação de Girard):
[tex3]S = \frac{-b}{a} = \frac{-(-12)}{1} = 12[/tex3]
[tex3]P = \frac{c}{a} = 32[/tex3]
As últimas raízes então serão 8 e 4:
[tex3]8 + 4 = 12[/tex3]
[tex3]8x4 = 32[/tex3]
Portanto as raízes serão: [2, -2, 8, 4]
Última edição: SCOFIELD (Dom 04 Dez, 2016 09:35). Total de 1 vez.
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04
18:33
Re: Equações polinomiais ou algébricas
Ou,
Aurelio escreveu:Sejam [tex3]p(x) = x^{2} - 6x - 6[/tex3]e [tex3]q(x) = [p(x)]^{2} + 4.p(x) - 140[/tex3] duas funções polinomiais. Encontre todas as raízes reais de q(x).
R: -2, 2, 4, 8
Última edição: danjr5 (Dom 04 Dez, 2016 18:33). Total de 1 vez.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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