Ensino Médio ⇒ Área da região triangular

[cicero444]

Calcule a área da região triangular ABC:

região.png (175 KiB) Exibido 1977 vezes

A) 12
B) 12,5
C) 13
D) 14
E) 14,5

[Babi123]

Eita

[Auto Excluído (ID:12031)]

as retas perpendiculares são as mediatrizes dos lados e portanto concorrem no circuncentro

de onde [tex3]R^2 = \(R-1\)^2 + \(\frac{AB}{2}\)^2 \iff \(\frac{AB}{2}\)^2 = 2R-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^2 = \(R-1\)^2 + \(\frac{AB}{2}\)^2 \iff \(\frac{AB}{2}\)^2 = 2R-1[/tex3]

[tex3]\(\frac{BC}{2}\)^2 = 4R-4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\frac{BC}{2}\)^2 = 4R-4[/tex3]

[tex3]\(\frac{AC}{2}\)^2 = 6R - 9[/tex3]

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[tex3]\(\frac{AC}{2}\)^2 = 6R - 9[/tex3]

eu não consegui pensar num jeito simples de encontrar o raio
[tex3]S = \frac{abc}{4R} = \frac{2\sqrt{\(2R-1\)\(4R-4\)\(6R-9\)}}R[/tex3]

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[tex3]S = \frac{abc}{4R} = \frac{2\sqrt{\(2R-1\)\(4R-4\)\(6R-9\)}}R[/tex3]

[tex3]S = \(R-1\)\sqrt{2R-1} + \(R-2\)\sqrt{4R-4} + \(R-3\)\sqrt{6R-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \(R-1\)\sqrt{2R-1} + \(R-2\)\sqrt{4R-4} + \(R-3\)\sqrt{6R-9}[/tex3]

[tex3]\frac{R-1}{\sqrt{\(4R-4\)\(6R-9\)}} + \frac{R-2}{\sqrt{\(2R-1\)\(6R-9\)}} +\frac{R-3}{\sqrt{\(2R-1\)\(6R-9\)}} = \frac{2}{R}[/tex3]

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[tex3]\frac{R-1}{\sqrt{\(4R-4\)\(6R-9\)}} + \frac{R-2}{\sqrt{\(2R-1\)\(6R-9\)}} +\frac{R-3}{\sqrt{\(2R-1\)\(6R-9\)}} = \frac{2}{R}[/tex3]

o wolfram dá uma solução numérica, mas deve ter um jeito de resolver.

[jvmago]

Vou tentar um coisa e ver se sai

[Ittalo25]

Essa questão já foi discutida no grupo do ITA no facebook.

O Rufino resolveu e também reproduziram a imagem no geogebra. A resposta fica bem longe das alternativas.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Seja M o ponto médio de BC e N o encontro da mediatriz de BC com o circuncírculo de ABC, triÂngulo MNB:

[tex3]tg(\frac A2) = \frac{2}{2\sqrt{R-1}} = \frac1{\sqrt{R-1}} = \frac{\sen A}{1 + \cos A}[/tex3]

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[tex3]tg(\frac A2) = \frac{2}{2\sqrt{R-1}} = \frac1{\sqrt{R-1}} = \frac{\sen A}{1 + \cos A}[/tex3]

de onde [tex3]\sen A = \frac{2\sqrt{R-1}}R[/tex3]

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[tex3]\sen A = \frac{2\sqrt{R-1}}R[/tex3]

e [tex3]\cos A = \frac{R-2}{R}[/tex3]

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[tex3]\cos A = \frac{R-2}{R}[/tex3]

lei dos cossenos em ABC:
[tex3]4R-4 = 6R-9 + 2R-1 -2\sqrt{(2R-1)(6R-9)}\frac{R-2}{R}[/tex3]

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[tex3]4R-4 = 6R-9 + 2R-1 -2\sqrt{(2R-1)(6R-9)}\frac{R-2}{R}[/tex3]

[tex3]2R-3 = \sqrt{(2R-1)(6R-9)}\frac{R-2}{R}[/tex3]

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[tex3]2R-3 = \sqrt{(2R-1)(6R-9)}\frac{R-2}{R}[/tex3]

[tex3]\sqrt{2R-3} = \sqrt{3(2R-1)}\frac{R-2}{R}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2R-3} = \sqrt{3(2R-1)}\frac{R-2}{R}[/tex3]

agora sim, o wolfram resolve essa equação de terceiro grau dando
[tex3]R = 2 + 2\cos (\frac{\pi}9) \approx 3.8794[/tex3]

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[tex3]R = 2 + 2\cos (\frac{\pi}9) \approx 3.8794[/tex3]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... )(1-2%2Fx)
com isso [tex3]S \approx 17.18[/tex3]

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[tex3]S \approx 17.18[/tex3]