Ensino MédioÁrea da região triangular

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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cicero444
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Dez 2016 03 12:31

Área da região triangular

Mensagem não lida por cicero444 » Sáb 03 Dez, 2016 12:31

Calcule a área da região triangular ABC:
região.png
região.png (175 KiB) Exibido 1018 vezes
A) 12
B) 12,5
C) 13
D) 14
E) 14,5

Última edição: cicero444 (Sáb 03 Dez, 2016 12:31). Total de 1 vez.



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Babi123
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Fev 2018 13 12:17

Re: Área da região triangular

Mensagem não lida por Babi123 » Ter 13 Fev, 2018 12:17

Eita :shock: :shock:




Auto Excluído (ID:12031)
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Fev 2018 13 14:29

Re: Área da região triangular

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Ter 13 Fev, 2018 14:29

as retas perpendiculares são as mediatrizes dos lados e portanto concorrem no circuncentro

de onde [tex3]R^2 = (R-1)^2 + (\frac{AB}{2})^2 \iff (\frac{AB}{2})^2 = 2R-1[/tex3]

[tex3](\frac{BC}{2})^2 = 4R-4[/tex3]

[tex3](\frac{AC}{2})^2 = 6R - 9[/tex3]

eu não consegui pensar num jeito simples de encontrar o raio
[tex3]S = \frac{abc}{4R} = \frac{2\sqrt{(2R-1)(4R-4)(6R-9)}}R[/tex3]

[tex3]S = (R-1)\sqrt{2R-1} + (R-2)\sqrt{4R-4} + (R-3)\sqrt{6R-9}[/tex3]

[tex3]\frac{R-1}{\sqrt{(4R-4)(6R-9)}} + \frac{R-2}{\sqrt{(2R-1)(6R-9)}} +\frac{R-3}{\sqrt{(2R-1)(6R-9)}} = \frac{2}{R}[/tex3]

o wolfram dá uma solução numérica, mas deve ter um jeito de resolver.



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jvmago
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Fev 2018 13 14:57

Re: Área da região triangular

Mensagem não lida por jvmago » Ter 13 Fev, 2018 14:57

Vou tentar um coisa e ver se sai


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Ittalo25
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Fev 2018 13 15:00

Re: Área da região triangular

Mensagem não lida por Ittalo25 » Ter 13 Fev, 2018 15:00

Essa questão já foi discutida no grupo do ITA no facebook.

O Rufino resolveu e também reproduziram a imagem no geogebra. A resposta fica bem longe das alternativas.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Auto Excluído (ID:12031)
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Fev 2018 13 15:42

Re: Área da região triangular

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Ter 13 Fev, 2018 15:42

Seja M o ponto médio de BC e N o encontro da mediatriz de BC com o circuncírculo de ABC, triÂngulo MNB:

[tex3]tg(\frac A2) = \frac{2}{2\sqrt{R-1}} = \frac1{\sqrt{R-1}} = \frac{\sen A}{1 + \cos A}[/tex3]

de onde [tex3]\sen A = \frac{2\sqrt{R-1}}R[/tex3] e [tex3]\cos A = \frac{R-2}{R}[/tex3]

lei dos cossenos em ABC:
[tex3]4R-4 = 6R-9 + 2R-1 -2\sqrt{(2R-1)(6R-9)}\frac{R-2}{R}[/tex3]
[tex3]2R-3 = \sqrt{(2R-1)(6R-9)}\frac{R-2}{R}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2R-3} = \sqrt{3(2R-1)}\frac{R-2}{R}[/tex3]
agora sim, o wolfram resolve essa equação de terceiro grau dando
[tex3]R = 2 + 2\cos (\frac{\pi}9) \approx 3.8794[/tex3]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... )(1-2%2Fx)
com isso [tex3]S \approx 17.18[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 13 Fev, 2018 15:48). Total de 1 vez.



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