Ensino MédioProgressão Aritmética

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FutureHendrix
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Progressão Aritmética

Mensagem não lida por FutureHendrix »

Os lados de triangulo formam uma progressão aritmética de razão 1 e o maior ângulo é o dobro do menor. Determine o valor dos lados desse triangulo.

a) 3, 4 e 5.
b) 5, 12 e 13.
c) 6, 8 e 10.
d) 2,5; 6 e 6,5.
e) 4, 5 e 6.

Última edição: FutureHendrix (Sex 25 Nov, 2016 21:13). Total de 1 vez.



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LucasPinafi
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Re: Progressão Aritmética

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Sejam a,b,c os lados, com a<b<c em PA de razão 1. Portanto, b=a + 1 e c = a + 2.
Sejam \alpha, \beta, \gamma os ângulos, com \alpha < \beta < \gamma e \gamma = 2 \alpha. Veja que \gamma é oposto ao lado c e \alpha ao lado a. Pela lei dos senos:
\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \Longleftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{\sin 2 \alpha}{\sin \alpha} \Longleftrightarrow \frac c a = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha} { \sin \alpha}  \Longleftrightarrow \cos \alpha = \frac c {2a}
Pela lei dos cossenos:
a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos \alpha  = b^2 + c^2 - \frac{bc^2} a \Longleftrightarrow a^3 = b^2 a + c^2 a - bc^2 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow  a^3 = (a+1)^2 a +(a+2)^2 a - (a+1)(a+2)^2 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow a^3 = (a^3 + 2a^2 +a) +(a^3 + 4a^2 +4a) - (a+1) (a^2 + 4a+4) \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow a^3 = (a^3 + 2a^2 +a) +(a^3 +4a^2 +4a) - a^3-4a^2-4a-a^2-4a-4 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow 0 = a^2 -3a-4 \Longleftrightarrow a^2 - 3a - 4 = 0 \Longleftrightarrow (a-4) (a+1) = 0 \Longleftrightarrow  \begin{cases}a= - 1 \\ a= 4 \end{cases} \\  \Longleftrightarrow a = 4 \Longleftrightarrow b = 5 \Longleftrightarrow c = 6

Última edição: LucasPinafi (Sex 25 Nov, 2016 21:39). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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FutureHendrix
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Re: Progressão Aritmética

Mensagem não lida por FutureHendrix »

Muito obrigado




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