Ensino Médio

Dadas as funções reais f(x) = 3x + k, g(x) = − x − 7k, e, h(x) = 2x − k, seja K o conjunto
de valores que a constante k pode assumir para que os gráficos das três funções se
interceptem em um mesmo ponto.
O número de elementos de K é
01) 0.
02) 1.
03) 2.
04) maior do que 2, mas finito.
05) infinito.

pietrotavares

Olá Marcelocastro,

Queremos que todas as funções tenham, para um dado x (comum à todas), a mesma imagem (ou y, ou f(x)).
Isto é, elas devem ser iguais duas a duas.
Com efeito,

[tex2]1[/tex2]) Sistema de equações
$\begin{cases} 3x + k = -x - 7k \\ 3x + k = 2x - k \\ -x -7 k = 2x - k \end{cases}$

[tex2]2[/tex2]) 1ª Equação do sistema
$3x + k = -x - 7k$
$4x = -8k$
$\boxed{k = \frac{-x}{2}}$

[tex2]3[/tex2]) 2ª Equação do sistema
$3x + k = 2x - k$
$x = -2k$
$\boxed{k = \frac{-x}{2}}$

[tex2]4[/tex2]) 3ª Equação do sistema
$-x - 7k = 2x - k$
$3x = -6k$
$\boxed{k = \frac{-x}{2}}$

Veja que temos para qualquer $x$ real, temos um valor de $k$ que faz com que as $3$ funções interceptem-se num mesmo ponto.
Como são infinitos possíveis valores de $x$ (o domínio das três funções é o conjunto dos reais), serão infinitos possíveis valores de [tex2]k[/tex2].

Resposta: 05

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