Ensino Médio

pietrotavares

Calcular o volume do prisma hexagonal regular de altura [tex2]h[/tex2], sabendo que suas maiores diagonais são iguais ao triplo das menores diagonais da base

Resposta

$\frac{h^3 3\sqrt{3}}{46}$

Acho que se eu tentar desenhar no paint vai ficar pior do que eu explicando, mas vamos lá.
Pense no hexágono da base, e pegue um vértice dele. Se você pegar o vértice ao lado e unir, teria o lado do hexágono. Se você pular mais um vértice e uni-lo com o primeiro, esta é a diagonal menor da base. Agora, se você pular um terceiro vértice e unir com o primeiro, essa será a diagonal maior da base. A diagonal maior do prisma será a união do primeiro vértice com esse último vértice que daria a diagonal maior, porém ele deve estar na outra base do prisma. A medida dessa diagonal do prisma é calculado pelo teorema de Pitágoras com a diagonal maior da base e a altura do prisma.
Vou chamar de D a diagonal maior do prisma, d a diagonal maior da base e d' a diagonal menor da base.
$D^2=h^2+d^2$
Mas, no hexágono, essa diagonal maior é duas vezes o lado do hexágono (deixo a simples demonstração pra você)
$D^2=h^2+4l^2 \rightarrow D=\sqrt{h^2+4l^2}$
Agora, a diagonal menor é facilmente calculada pela lei dos cossenos ao notarmos que o angulo interno do hexágono mede 120.
$d'^2=l^2+l^2-2.l.l.cos(120) \rightarrow d'^2=2l^2+l^2 \rightarrow d'^=l\sqrt{3}$
Do enunciado, D=3d':
$D=3d' \rightarrow D^2=9d'^2 \rightarrow h^2+4l^2=27l^2 \rightarrow 23l^2=h^2$
$\therefore l^2=\frac{h^2}{23}$
O volume será a área da base vezes a altura. A área do hexágono será $\frac{6l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$
$V=h.\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=h.\frac{3h^2\sqrt{3}}{2.23}=\frac{h^33\sqrt{3}}{46}$

pietrotavares

Ficou ótima a explicação, eu tinha feito o que você falou até a lei dos cossenos.
Por algum motivo eu estava considerando a diagonal menor da base valendo $l$ (

), bugs na minha mentalização..

Em questões assim você costuma fazer um esboço ou algo do tipo? (Considerando-se num vestibular)

No vestibular na verdade tem três assuntos que, não importa quão fáceis sejam as questões, eu sempre pulo sem nem mesmo ler a questão: geometria plana, geometria espacial e combinatória. Talvez não seja a melhor estratégia de todas mas eu normalmente preciso de um tempo maior pra fazer esses tipos de questão, correndo o risco de às vezes nem mesmo conseguir.
Quando vou finalmente fazer os de geometria espacial, sem dúvida eu tenho que desenhar absolutamente tudo que o enunciado informa, e de preferência o maior e melhor possível, com linhas tracejadas e cheias pra dar a perspectiva e facilitar a visualização que eu julgo ser a parte mais difícil da espacial. Claro que tem algumas questões mais "interessantes" que começam a falar de pirâmides com base de 10 lados ou coisas absurdas, aí já é torcer pra que você consiga fazer sem o desenho ou apenas com um esboço, mas no geral, sempre que dá, eu desenho porque é melhor gastar o tempo com algo que vai te ajudar do que ficar quebrando a cabeça porque não enxerga algo que, talvez com o desenho, seja mais imediato.
Outra coisa boa na geometria espacial, além dos desenhos 3D é saber cortar o desenho em um determinado plano e fazer o desenho dessa secção a parte. Por exemplo, tem algumas questões de esferas inscritas e circunscritas em cones que, pra você conseguir trabalhar melhor com os pontos de tangência e tudo mais, é melhor você fazer um desenho do cone cortado no meio e começar a mexer com a parte de geometria plana da questão. Enfim, cada caso é um caso.

pietrotavares

undefinied3 escreveu:No vestibular na verdade tem três assuntos que, não importa quão fáceis sejam as questões, eu sempre pulo sem nem mesmo ler a questão: geometria plana, geometria espacial e combinatória.

Eu fazia exatamente isso também.
Geometria eu pulava pois odiava e sempre achava o desenho da prova pequeno demais para os meus rabiscos e números.
Já Combinatória eu pulava porque, além de ser uma negação, as questões são de fato quase sempre exageradas na dificuldade.

Enfim, realmente, saber seccionar em planos, como você falou, é muito interessante. Vestibulares amam isso.
Vou tentar melhorar meus desenhos (os quais sempre foram dignos de um algebrista) e aprender algumas técnicas em 3D.

Como sempre, sua reposta foi muito informativa.
Obrigado.

[]'s

kkkkkkkjj eu também pulo esses coisos, principalmente g.p.

Um conselho que dou é estudar estas duas playlists:

Geometria plana do POTI nível 2, se estiver com disposição dá pra fazer o nível 3 também:

https://www.youtube.com/watch?v=-BJFzzb ... nQvsiz_4k7

Geometria espacial do Rubinos, está um pouco desorganizada, mas vale a pena procurar os vídeos de teoria antes dos exercícios resolvidos:

https://www.youtube.com/watch?v=mHjANOt ... I23bFKSMyg

Geometria plana do Rubinos também é muito bom e os vídeos são mais rápidos que os do POTI.

Pronto, depois disso as questões sobre esses assuntos de vestibulares tradicionais aqui do Brasil vão parecer piada de tão fáceis.

Obrigado!!!

pietrotavares

Obrigado! Você poderia indicar uma fonte de exercícios?

Eu fiz os dois de geometria do Morgado e ainda consigo travar em algumas questões de 1ª fase

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