Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial Tópico resolvido

[pietrotavares]

Calcular o volume de um prisma triangular regular, sendo [tex2]3[/tex2] a medida do apótema da base e sua altura igual ao apótema da base do prisma.

Resposta

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[tex3]81\sqrt{3}[/tex3]

[undefinied3]

Numa figura regular, o apótema é a distância do seu centro até um lado. No caso do triângulo equilátero, o centro coincide com o encontro das medianas, mas as medianas também são alturas e bissetrizes. Pela propriedade do encontro das medianas, o baricentro divide uma mediana na razão 2:1. Se o apótema, que é o menor pedaço da mediana, mede 3, então o outro pedaço mede 6 e a mediana=altura mede 9. Mas sabemos que a altura do triângulo equilátero se relaciona com seu lado pela relação

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[tex3]h=\frac{l\sqrt{3}}{2} \rightarrow 9=\frac{l\sqrt{3}}{2} \rightarrow l=6\sqrt{3}[/tex3]

Então sua área será

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[tex3]\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36.3\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}[/tex3]

O volume será

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[tex3]V=A_b.h=27\sqrt{3}.3=81\sqrt{3}[/tex3]