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[ALDRIN]

Resolva:

[tex3]\text{x^2 + y^2 + z^2 = 15^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{x^2 + y^2 + z^2 = 15^2}[/tex3]

[tex3]\text{(x,\ y,\ z\ \in \mathbb{Z})}[/tex3]

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[tex3]\text{(x,\ y,\ z\ \in \mathbb{Z})}[/tex3]

[IgorMirandola]

Qualquer dúvida do problema abaixo, me procure no face Igor Mirandola

Primeiramente, solução trivial,
{15, 0, 0}
{0, 15, 0}
{0, 0, 15}
{-15, 0, 0}
{0, -15, 0}
{0, 0, -15}

Agora, vamos supor que z = 1;

[tex3]x^{2} + y^{2} = 224[/tex3]

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[tex3]x^{2} + y^{2} = 224[/tex3]

De acordo com o teorema abaixo:
http://www.im.ufal.br/evento/bsbm/downl ... drados.pdf
(Teorema 2.5 Fermat-Euler) Seja n um inteiro positivo. Então n é uma soma de dois quadrados se e somente se todo divisor primo de n da forma 4k + 3 aparece um número par de vezes na fatoração de n como produto de primos.

224 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 7

Como 7 aparece apenas 1 vez, então z = 1 não é solução do problema. Analogamente, x = 1; x = -1; y = 1; y = -1; z = -1 também não são soluções.

PERCEBA A FACILIDADE QUE O TEOREMA PROPORCIONA:
Agora você só tem que fatorar mais 14 vezes, fatorar é algo que você aprende no ensino básico.

Vamos para z = 2 agora,
221 = 13 x 17
13 e 17 não são números primos do tipo "4k +3", por tanto,
z = 2 faz parte da solução!

Vamos para z = 3,
216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3
Portanto, z = 3 e seus análogos não fazem parte da solução do problema

Vamos para z = 4,
209 = 11 x 19
Portanto, z = 4 e seus análogos não fazem parte da solução do problema

Vamos para z = 5,
200 = 2 x 2 x 2 x 5 x5
Observe neste caso que não tem termos do tipo 4k + 3, então, provavelmente, ele pode ser escrito como soma de termos ao quadrado!
sim, 10 e 10! 10^2 + 10^2
portanto z = 5 faz parte da solução do problema

Vamos para z = 6
(faça você mesmo)
z = 6 e seus análogos não fazem parte da solução do problema

Vamos para z = 7
(faça você mesmo)
z = 7 e seus análogos não fazem parte da solução do problema

Vamos para z = 8
(faça você mesmo)
z = 8 e seus análogos não fazem parte da solução do problema

Vamos para z = 9
144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3
OPAA!!! Neste caso, pra k = 0, tenho quantidade par de fatores ímpares.
Pelo teorema, z = 9 e seus análogos fazem parte solução do problema.
Vamos continuar até z = 15, e verificar se tem algum outro caso.

Vamos para z = 10
125 = 5^3, nenhum fator do tipo 4k+3, por tanto, ele deve ser solução do problema.
10 e 5.
z = 10 faz parte da solução do problema.

Vamos para z = 11
104 = 2^3 13, nenhum fator do tipo 4k+3, por tanto, ele deve ser solução do problema.
10 e 2
z = 11 faz parte da solução

Vamos para z = 12
OPAA! Tem sim outro caso! 81 = 3x3x3x3
Pelo teorema, z = 12 e seus análogos fazem parte da solução do problema.

Vamos para z = 13
(faça você mesmo)
z = 13 e seus análogos não fazem parte da solução do problema

Vamos para z = 14
29, não é do tipo "4k+3", portanto, faz parte da solução

Pronto, encontramos após uma longa inspeção vários casos:
z = 2, 5, 9, 10, 11, 12 e 14

Vamos cuidar primeiramente do primeiro caso:
z = 9:

[tex3]x^{2} + y^{2} = 144[/tex3]

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[tex3]x^{2} + y^{2} = 144[/tex3]

Observa-se, por inspeção, que, esta equação se verifica apenas quando um dos dois termos é igual a zero.

Por tanto: {9, 12, 0} é uma solução da equação.

Todos os seus análogos também,
portanto:

{9, 12, 0}
{9, 0, 12}
{12, 9, 0}
{0, 9, 12}
{0, 12, 9}

Como 12 e 9 são soluções, então já está verificado para z = 12 automaticamente.

Agora vamos verificar quando z = 5. Neste caso, a solução é 5 10 10

{5, 10, 10}
{10, 5, 10}
{10, 10, 5}

Verifique você mesmo outros casos.

Qualquer dúvida do problema acima, me procure no face Igor Mirandola