Olá, a ambos.
Creio que houve aqui um equívoco entre prisma quadrangular e pirâmide quadrangular pois é em relação a esta última que o problema foi resolvido, quando o que o enunciado pede é a área total do primeiro. Prisma quadrangular ou de base quadrada.
Para um prisma quadrangular que é dada pela figura acima, acho que a resolução seria como se segue:
Diagonal da base
[tex3]d=l.\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]d=5\sqrt{2}.\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]d=5(\sqrt{2})^2[/tex3]
[tex3]d=5\times2[/tex3]
[tex3]d=10\,cm[/tex3]
Hipotenusa [tex3]\overline{IF}[/tex3]
do triângulo [tex3]AIF[/tex3]
com base no ângulo de 60º.
[tex3]\overline{FC}=\overline{FA}=\frac{10}{2}[/tex3]
[tex3]FC/FA=5\,cm[/tex3]
[tex3]cos\, 60^o=\frac{\overline{AF}}{\overline{IF}}[/tex3]
[tex3]\;\;\;\;\frac{1}{2}=\frac{5}{\overline{IF}}[/tex3]
[tex3]\overline{IF}=5\times2[/tex3]
[tex3]\overline{IF}=10\,cm[/tex3]
Altura de uma lateral por Pitágoras
[tex3]\overline{AF}^2+\overline{AI}^2=\overline{IF}^2[/tex3]
[tex3]5^2+\overline{AI}^2=10^2[/tex3]
[tex3]\overline{AI}^2=10^2-5^2[/tex3]
[tex3]\overline{AI}^2=100-25[/tex3]
[tex3]\overline{AI}^2=75[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=\plus\sqrt{75}[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=\sqrt{25\times3}[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=sqrt{5^2\times3}[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=5.\sqrt{3}\,cm[/tex3]
Área de uma lateral do prisma:
[tex3]=b\,\times\, h[/tex3]
[tex3]5\sqrt{2}\,\times\,5\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]5^2\,\times\,\sqrt{2\times3}[/tex3]
[tex3]25.\sqrt{6}\,cm^2[/tex3]
Área lateral:
[tex3]4\,\times\,25.\sqrt{6}=\boxed{244,95\,cm^2}[/tex3]
Área de uma base:
[tex3]=l\,\times\,l[/tex3]
[tex3]5\sqrt{2}\,\times\,5\sqrt{2}\,\righ\,(5\sqrt{2})^2\,\right\, 25\times2=50\,cm^2[/tex3]
Área das bases:
[tex3]50\,\times\, 2=\boxed{100\,cm^2}[/tex3]
Área Total:
Área lateral + a área das bases
[tex3]244,95\,+\,100,00= 344.95\,\approx\,\boxed{345\,cm^2}[/tex3]
Contudo acho que há algo que eu não entendo, porque neste caso o ângulo que eu marquei como 60º, seja qual for a inclinação do prisma será, segundo creio, sempre um ângulo recto. Mas, se se trata de um prisma quadrangular, pela minha lógica a resolução seria a que expus.
Quando o enunciado fala desse ângulo de 60º das arestas laterais em relação ao plano da base, será o plano que contem o "fundo" ou base quadrada do prisma, e o ângulo é interno, ou esse ângulo será entre um plano, ou uma porção de plano horizontal sobre o qual se apoia o vértice do "fundo" do dito prisma e esse plano, e nesse caso um ângulo externo entre a parte externa do "fundo" do prisma e esse plano ou porção de plano, sobre o qual ele se apoia ?
Se fosse uma pirâmide fazia sentido o ângulo ser de 60º porque as arestas à medida que sobem e convergem para o vértice vão-se inclinando.
Não sei se me fiz entender ? Mas acho a situação confusa.
Se chegarem a alguma outra conclusão mais clarificadora disponham.
Se acharem que estou errado, por favor digam onde e porquê.