Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Willm17** » Qui 20 Out, 2016 16:23

Um prisma tem base quadrada de lado $5\sqrt{2}~cm.$ Suas arestas laterais formam $60^{\circ}$ com o plano da base. Determine $S_{T}$ (a área de toda a superfície do prisma), sabendo que a projeção ortogonal de um dos vértices da base superior coincide com o centro da base inferior.

Creio que a solução seja a seguinte:
Considere a figura:

: prisma.jpg (22.73 KiB) Exibido 521 vezes

Como lado da base mede $5\sqrt2 \ cm$ , a diagonal $BD$ mede:
$d_{BD}=\ell \cdot \sqrt2 =5 \sqrt 2 \cdot \sqrt2=10 \ cm$

Pela informação do problema, a projeção do ponto E cai no ponto médio de BD, logo $BF = \frac{5}{2} \ cm$
$\Delta BFE$ é retângulo em F:
$\cos 60^0=\frac{\overline {BF}}{\overline {BE}}$
$\frac{1}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{\overline {BE}}$
$BE=5 \ cm$

Agora, a face do prisma é um triângulo isósceles de lado congruente 5 cm e lado da base $5 \sqrt 2 \ cm$ .
Determinando a altura dessa face (na figura, a face cujos vértices são BEC}, através do Teorema de Pitágoras temos
$(\overline{EC})^2=(\overline{GC})^2+(\overline{GE})^2$
$5^2=\left(\frac{5\sqrt 2}{2}\right)^2+h^2$
$h=\frac{5\sqrt2}{2} \ cm$

Logo a área superficial do prisma ( $S_T$ ) será:
$S_T= 4 \cdot \ A_{face}+A_{base}$
$S_T=4 \cdot \frac{5\sqrt2 \cdot 5 \sqrt2}{2}+\left(5 \sqrt2\right)^2=20+50=70 \ cm^2$

Espero ter ajudado!

Mensagem não lidapor **olgario** » Sex 28 Out, 2016 04:04

Olá, a ambos.

Creio que houve aqui um equívoco entre prisma quadrangular e pirâmide quadrangular pois é em relação a esta última que o problema foi resolvido, quando o que o enunciado pede é a área total do primeiro. Prisma quadrangular ou de base quadrada.

Para um prisma quadrangular que é dada pela figura acima, acho que a resolução seria como se segue:

Diagonal da base
[tex3]d=l.\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]d=5\sqrt{2}.\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]d=5(\sqrt{2})^2[/tex3]
[tex3]d=5\times2[/tex3]
[tex3]d=10\,cm[/tex3]

Hipotenusa [tex3]\overline{IF}[/tex3] do triângulo [tex3]AIF[/tex3] com base no ângulo de 60º.
[tex3]\overline{FC}=\overline{FA}=\frac{10}{2}[/tex3]
[tex3]FC/FA=5\,cm[/tex3]
[tex3]cos\, 60^o=\frac{\overline{AF}}{\overline{IF}}[/tex3]
[tex3]\;\;\;\;\frac{1}{2}=\frac{5}{\overline{IF}}[/tex3]
[tex3]\overline{IF}=5\times2[/tex3]
[tex3]\overline{IF}=10\,cm[/tex3]

Altura de uma lateral por Pitágoras
[tex3]\overline{AF}^2+\overline{AI}^2=\overline{IF}^2[/tex3]
[tex3]5^2+\overline{AI}^2=10^2[/tex3]
[tex3]\overline{AI}^2=10^2-5^2[/tex3]
[tex3]\overline{AI}^2=100-25[/tex3]
[tex3]\overline{AI}^2=75[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=\plus\sqrt{75}[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=\sqrt{25\times3}[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=sqrt{5^2\times3}[/tex3]
[tex3]\overline{AI}=5.\sqrt{3}\,cm[/tex3]

Área de uma lateral do prisma:
[tex3]=b\,\times\, h[/tex3]
[tex3]5\sqrt{2}\,\times\,5\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]5^2\,\times\,\sqrt{2\times3}[/tex3]
[tex3]25.\sqrt{6}\,cm^2[/tex3]

Área lateral:
[tex3]4\,\times\,25.\sqrt{6}=\boxed{244,95\,cm^2}[/tex3]

Área de uma base:
[tex3]=l\,\times\,l[/tex3]
[tex3]5\sqrt{2}\,\times\,5\sqrt{2}\,\righ\,(5\sqrt{2})^2\,\right\, 25\times2=50\,cm^2[/tex3]

Área das bases:
[tex3]50\,\times\, 2=\boxed{100\,cm^2}[/tex3]

Área Total:
Área lateral + a área das bases

[tex3]244,95\,+\,100,00= 344.95\,\approx\,\boxed{345\,cm^2}[/tex3]

Contudo acho que há algo que eu não entendo, porque neste caso o ângulo que eu marquei como 60º, seja qual for a inclinação do prisma será, segundo creio, sempre um ângulo recto. Mas, se se trata de um prisma quadrangular, pela minha lógica a resolução seria a que expus.
Quando o enunciado fala desse ângulo de 60º das arestas laterais em relação ao plano da base, será o plano que contem o "fundo" ou base quadrada do prisma, e o ângulo é interno, ou esse ângulo será entre um plano, ou uma porção de plano horizontal sobre o qual se apoia o vértice do "fundo" do dito prisma e esse plano, e nesse caso um ângulo externo entre a parte externa do "fundo" do prisma e esse plano ou porção de plano, sobre o qual ele se apoia ?
Se fosse uma pirâmide fazia sentido o ângulo ser de 60º porque as arestas à medida que sobem e convergem para o vértice vão-se inclinando.
Não sei se me fiz entender ? Mas acho a situação confusa.
Se chegarem a alguma outra conclusão mais clarificadora disponham.
Se acharem que estou errado, por favor digam onde e porquê.

Mensagem não lidapor **Willm17** » Sex 28 Out, 2016 15:49

O gabarito oficial é $370~cm^{2}$

Willm17 escreveu:O gabarito oficial é $370~cm^{2}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]370~cm^{2}[/tex3]

Deverias ter colocado a resposta isso ajuda aos que desejam te ajudar.

Mensagem não lidapor **Willm17** » Sex 28 Out, 2016 16:54

paulo testoni escreveu:
Willm17 escreveu:O gabarito oficial é $370~cm^{2}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]370~cm^{2}[/tex3]

Deverias ter colocado a resposta isso ajuda aos que desejam te ajudar.

Só peguei o gabarito oficial agora.

Hola.

Nesse caso peço-lhe escusas.

Para tornar mais claro o que disse após a resolução na postagem anterior segue a imagem abaixo.

: poligono de base quadrada-01.jpg (41.4 KiB) Exibido 493 vezes

Considerando o plano [tex3]\beta[/tex3] como a base inferior do prisma, se esta fizer um ângulo de inclinação de 30º com o plano [tex3]\alpha[/tex3] no qual o prisma está apoiado pelo vértice A, vemos que a nível interno teremos sempre o ângulo recto (90º) do triângulo rectângulo IÂF, e à esquerda a aresta AI faz com o plano de "apoio" [tex3]\alpha[/tex3] um ângulo de 60º externo ao prisma, e este ângulo existe, porque existe o ângulo de 30º em relação ao plano [tex3]\alpha[/tex3] e vice-versa, o que faz com que o ponto E, vértice da base superior fique alinhado perpendicularmente (em posição ortogonal) com o ponto central F da base inferior. Creio pois, que o ângulo de 60º entre a aresta e o plano a que o enunciado faz referência seja em relação ao plano [tex3]\alpha.[/tex3]
Constatamos que somando os 3 ângulos temos 60+90+30 = 180º que é a amplitude de um ângulo raso.
Quanto ao resultado oficial ser de [tex3]\,370 cm^2,\,[/tex3] pois, não sei que dizer. Estará errado ? Será a minha resolução que está ? Pelo menos está mais próxima dos 370.

Abraços.

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