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Provar que num triângulo ABC retângulo em A, vale a relação (a - b)² = c² - 4ab.sen²(c/2).

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$sen\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{AB}{DB}$
$sen\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{c}{\sqrt{AB^2+AD^2}}$
$sen\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{c}{\sqrt{c^2+(b+a)^2}}$
$sen^2\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}$
$sen^2\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{c^2}{c^2+a^2+b^2+2ab }$
$sen^2\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{c^2}{2a^2+2ab }$
$sen^2\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{a^2-b^2}{2a\cdot (a+b) }$
$sen^2\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{a-b}{2a }$
$-4ab\cdot sen^2\left(\frac{c}{2}\right) = 2b^2 - 2ba$
$c^2-4ab\cdot sen^2\left(\frac{c}{2}\right) =c^2+ 2b^2 - 2ba$
$c^2-4ab\cdot sen^2\left(\frac{c}{2}\right) =a^2-b^2+ 2b^2 - 2ba$
$c^2-4ab\cdot sen^2\left(\frac{c}{2}\right) =(a-b)^2$

Ittalo25, obrigado!

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triângulo retângulo

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