Determine o valor do produto
log9^5.log2^3.log25^16
Ensino Médio ⇒ Produto de logaritmos
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Set 2016
28
16:19
Re: Produto de logaritmos
Seja x = [tex3]log_{9}5 \cdot log_{2}3 \cdot log_{25}16[/tex3]
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}9} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}16}{log_{2}25}[/tex3]
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}3^2} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}2^4}{log_{2}5^2}[/tex3]
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]
Se [tex3]log_{a}b^n = n\cdot log_{a}b[/tex3] e [tex3]\frac{log_{a} b}{log_{a} b} =1[/tex3] para a > 0, b > 0 e a [tex3]\neq[/tex3] 1. Então:
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]
x = [tex3]\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}[/tex3]
x = 1.
. Aplicando uma mudança de base em [tex3]log_{9}5[/tex3]
e [tex3]log_{25}16[/tex3]
para que tenham base 2:x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}9} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}16}{log_{2}25}[/tex3]
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}3^2} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}2^4}{log_{2}5^2}[/tex3]
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]
Se [tex3]log_{a}b^n = n\cdot log_{a}b[/tex3] e [tex3]\frac{log_{a} b}{log_{a} b} =1[/tex3] para a > 0, b > 0 e a [tex3]\neq[/tex3] 1. Então:
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]
x = [tex3]\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}[/tex3]
x = 1.
Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Qua 28 Set, 2016 16:19). Total de 1 vez.
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Out 2016
03
14:41
Re: Produto de logaritmos
Por Favor, NÃO CONSEGUI ENTENDER COMO VOCÊ FEZ NA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO DA TERCEIRA LINHA EM DIANTE.
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Out 2016
04
01:40
Re: Produto de logaritmos
Peço desculpas pela confusão que gerei. Eu mudei a base de todos os logaritmos para dois por dois motivos:
1) Observar que poderia haver uma simplificação entre [tex3]log_{9}5[/tex3] e [tex3]log_{2}3[/tex3]
2) Como tenho um logaritmando 5 em [tex3]log_{9}5[/tex3] e tenho uma base 25 em [tex3]log_{25}16[/tex3] , eu posso ter uma simplificação entre os dois também se houver uma mudança do [tex3]log_{25}16[/tex3] para base 2.
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No procedimento de cálculo, eu escrevi na forma de potência para utilizar aquela propriedade: [tex3]log_{a}a = 1[/tex3] . A confusão deve ter sido aqui:
1) Observar que poderia haver uma simplificação entre [tex3]log_{9}5[/tex3] e [tex3]log_{2}3[/tex3]
2) Como tenho um logaritmando 5 em [tex3]log_{9}5[/tex3] e tenho uma base 25 em [tex3]log_{25}16[/tex3] , eu posso ter uma simplificação entre os dois também se houver uma mudança do [tex3]log_{25}16[/tex3] para base 2.
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No procedimento de cálculo, eu escrevi na forma de potência para utilizar aquela propriedade: [tex3]log_{a}a = 1[/tex3] . A confusão deve ter sido aqui:
Grosso modo, eu fiz isso para facilitar na hora de "cortar" semelhante com semelhante. Como é uma multiplicação e a ordem dos fatores não altera o produto, eu posso brincar com os logaritmos e trocar as posições.Bernoulli escreveu:x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}3^2} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}2^4}{log_{2}5^2}[/tex3]
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Ter 04 Out, 2016 01:40). Total de 1 vez.
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