Ensino Médio ⇒ Produto de logaritmos

[Walcris1408]

Determine o valor do produto
log9^5.log2^3.log25^16

[Auto Excluído (ID:17092)]

Seja x = [tex3]log_{9}5 \cdot log_{2}3 \cdot log_{25}16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{9}5 \cdot log_{2}3 \cdot log_{25}16[/tex3]

. Aplicando uma mudança de base em [tex3]log_{9}5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{9}5[/tex3]

e [tex3]log_{25}16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{25}16[/tex3]

para que tenham base 2:
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}9} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}16}{log_{2}25}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}9} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}16}{log_{2}25}[/tex3]

x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}3^2} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}2^4}{log_{2}5^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}3^2} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}2^4}{log_{2}5^2}[/tex3]

x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]

Se [tex3]log_{a}b^n = n\cdot log_{a}b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{a}b^n = n\cdot log_{a}b[/tex3]

e [tex3]\frac{log_{a} b}{log_{a} b} =1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{log_{a} b}{log_{a} b} =1[/tex3]

para a > 0, b > 0 e a [tex3]\neq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq[/tex3]

1. Então:
x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]

x = [tex3]\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}[/tex3]

x = 1.

[Walcris1408]

Eu Não consigo entender por que base 2???
Obrigada

[Walcris1408]

Por Favor, NÃO CONSEGUI ENTENDER COMO VOCÊ FEZ NA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO DA TERCEIRA LINHA EM DIANTE.

[Auto Excluído (ID:17092)]

Peço desculpas pela confusão que gerei. Eu mudei a base de todos os logaritmos para dois por dois motivos:
1) Observar que poderia haver uma simplificação entre [tex3]log_{9}5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{9}5[/tex3]

e [tex3]log_{2}3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{2}3[/tex3]

2) Como tenho um logaritmando 5 em [tex3]log_{9}5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{9}5[/tex3]

e tenho uma base 25 em [tex3]log_{25}16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{25}16[/tex3]

, eu posso ter uma simplificação entre os dois também se houver uma mudança do [tex3]log_{25}16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{25}16[/tex3]

para base 2.
-
No procedimento de cálculo, eu escrevi na forma de potência para utilizar aquela propriedade: [tex3]log_{a}a = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{a}a = 1[/tex3]

. A confusão deve ter sido aqui:

x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}3^2} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}2^4}{log_{2}5^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}3^2} \cdot log_{2}3 \cdot \frac{log_{2}2^4}{log_{2}5^2}[/tex3]

x = [tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{log_{2}5}{log_{2}5^2} \cdot log_{2}2^4 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}3^2}[/tex3]

Grosso modo, eu fiz isso para facilitar na hora de "cortar" semelhante com semelhante. Como é uma multiplicação e a ordem dos fatores não altera o produto, eu posso brincar com os logaritmos e trocar as posições.