Boa tarde!
Preciso da ajuda na resolução dessa questão.
Obrigado.
O apótema de uma pirâmide triangular regular mede 12 dm, e a face lateral da piramide forma ângulo de 60º com sua base. Determine as medidas da altura e da aresta lateral, bem como a área da base da pirâmide.
Ensino Médio ⇒ Geometria espacial
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Set 2016
29
02:51
Re: Geometria espacial
Olá
Bem, aqui está nossa pirâmide triangular regular.
Destacamos o triângulo retângulo [tex3]DEF[/tex3] que tem hipotenusa igual ao apótema da pirâmide, medindo [tex3]12 dm[/tex3] .
Para calcular a altura h através do teorema pitagórico, precisamos achar a, que é dado por:
[tex3]\cos 60^{\circ} = \frac{catetoadjascente}{hipotenusa} = \frac{1}{2}[/tex3] , então, [tex3]\frac{a}{12} = \frac{1}{2} \rightarrow a=6[/tex3]
Agora usamos h e a em Pitágoras(no teorema dele, quer dizer hehe):
[tex3]h^{2} + a^{2} = 12^{2}[/tex3]
[tex3]h^{2} + 6^{2} = 12^{2}[/tex3]
[tex3]h^{2} = 144-36[/tex3]
[tex3]h= \sqrt{108} \rightarrow 6\sqrt{3}[/tex3]
A primeira parte da questão é essa, h, que é a altura da pirâmide, mede [tex3]=6\sqrt{3}dm[/tex3]
A aresta lateral é calculada assim:
Como [tex3]a[/tex3] também é o apótema da base da pirâmide, que é um triângulo equilátero, então vale [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] da altura desse triângulo, que é dada por [tex3]\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3] , logo:
[tex3]\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) . \frac{1}{3} =[/tex3] [tex3]\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)[/tex3]
Igualamos [tex3]\frac{a\sqrt{3}}{6} = 6[/tex3] obtendo [tex3]a=\frac{36}{\sqrt{3}}dm[/tex3] , essa é a segunda parte.
Agora, finalmente podemos calcular a terceira parte que é a área da base, já que temos a medida do lado do triângulo equilátero.
A área do triângulo equilátero ([tex3]Sb[/tex3] ) é calculada por [tex3]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex3] , sabemos que [tex3]a=\frac{36}{\sqrt{3} dm[/tex3] , então temos:
[tex3]Sb= \frac{\left(\frac{36}{\sqrt{3}}\right)^{2}.\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Sb= \frac{\left(\frac{36^{2}}{{3}}\right).\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Sb= \frac{432\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Sb=108\sqrt{3}dm^{2}[/tex3]
Espero que tenha ficado claro. Qualquer coisa é só perguntar.
Bem, aqui está nossa pirâmide triangular regular.
Destacamos o triângulo retângulo [tex3]DEF[/tex3] que tem hipotenusa igual ao apótema da pirâmide, medindo [tex3]12 dm[/tex3] .
Para calcular a altura h através do teorema pitagórico, precisamos achar a, que é dado por:
[tex3]\cos 60^{\circ} = \frac{catetoadjascente}{hipotenusa} = \frac{1}{2}[/tex3] , então, [tex3]\frac{a}{12} = \frac{1}{2} \rightarrow a=6[/tex3]
Agora usamos h e a em Pitágoras(no teorema dele, quer dizer hehe):
[tex3]h^{2} + a^{2} = 12^{2}[/tex3]
[tex3]h^{2} + 6^{2} = 12^{2}[/tex3]
[tex3]h^{2} = 144-36[/tex3]
[tex3]h= \sqrt{108} \rightarrow 6\sqrt{3}[/tex3]
A primeira parte da questão é essa, h, que é a altura da pirâmide, mede [tex3]=6\sqrt{3}dm[/tex3]
A aresta lateral é calculada assim:
Como [tex3]a[/tex3] também é o apótema da base da pirâmide, que é um triângulo equilátero, então vale [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] da altura desse triângulo, que é dada por [tex3]\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3] , logo:
[tex3]\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) . \frac{1}{3} =[/tex3] [tex3]\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)[/tex3]
Igualamos [tex3]\frac{a\sqrt{3}}{6} = 6[/tex3] obtendo [tex3]a=\frac{36}{\sqrt{3}}dm[/tex3] , essa é a segunda parte.
Agora, finalmente podemos calcular a terceira parte que é a área da base, já que temos a medida do lado do triângulo equilátero.
A área do triângulo equilátero ([tex3]Sb[/tex3] ) é calculada por [tex3]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex3] , sabemos que [tex3]a=\frac{36}{\sqrt{3} dm[/tex3] , então temos:
[tex3]Sb= \frac{\left(\frac{36}{\sqrt{3}}\right)^{2}.\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Sb= \frac{\left(\frac{36^{2}}{{3}}\right).\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Sb= \frac{432\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Sb=108\sqrt{3}dm^{2}[/tex3]
Espero que tenha ficado claro. Qualquer coisa é só perguntar.
Última edição: NoemeMatos (Qui 29 Set, 2016 02:51). Total de 4 vezes.
"O conhecido é finito, o desconhecido é infinito; intelectualmente, estamos numa ilha no meio de um oceano ilimitado de inexplicabilidade. O nosso dever em cada geração é recuperar um pouco mais de terra." - T. H. Huxley, 1887
Set 2016
29
05:32
Re: Geometria espacial
Obrigado Noeme Matos, você foi bem claro!
Deixa eu te perguntar: Como você faz esse desenho da pirâmide? Vc usa algum programa? Poderia me passar o nome? Valeu
Deixa eu te perguntar: Como você faz esse desenho da pirâmide? Vc usa algum programa? Poderia me passar o nome? Valeu
Set 2016
29
14:06
Re: Geometria espacial
("Deixa eu te perguntar" é vício de linguagem!)nosbier escreveu:Obrigado Noeme Matos, você foi bem claro!
Deixa eu te perguntar: Como você faz esse desenho da pirâmide? Vc usa algum programa? Poderia me passar o nome? Valeu
Última edição: roberto (Qui 29 Set, 2016 14:06). Total de 1 vez.
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Set 2016
29
15:18
Re: Geometria espacial
Por nada.nosbier escreveu:Obrigado Noeme Matos, você foi bem claro!
Deixa eu te perguntar: Como você faz esse desenho da pirâmide? Vc usa algum programa? Poderia me passar o nome? Valeu
Ah, eu uso Geogebra online. Dá pra fazer download do programa no site.
Última edição: NoemeMatos (Qui 29 Set, 2016 15:18). Total de 1 vez.
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