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Danielramos

A razão entre o volume de certa esfera e um determinado cilindro é 4. Sabe-se ainda que o raio (veja da esfera é duas vezes maior que o raio do cilindro e que a área lateral do cilindro é $\frac{16\pi}{3}$ unidades de área. O volume da esfera é:

a) $\frac{32\pi}{3}$ unidades de volume.
b) $\frac{28\pi}{3}$ unidades de volume.
c) $\frac{36\pi}{3}$ unidades de volume.
d) $\frac{12\pi}{3}$ unidades de volume.

Mensagem não lidapor **ttbr96** » Sáb 03 Set, 2016 19:18

sejam:
R = raio da esfera
r = raio do cilindro

raio da esfera é duas vezes maior que o raio do cilindro:
$R = 2r$

A razão entre o volume de certa esfera e um determinado cilindro é 4:
$\frac{V_e}{V_c} = 4 \\\\\\ \frac{\frac{4 \pi R^3}{3}}{\pi r^2 h} = 4 \\\\\\ \frac{4 \pi (2r)^3}{3 \pi r^2 h} = 4 \\\\\\ \frac{32 r^3}{3 r^2 h} = 4 \\\\\\ \frac{32r}{3h} = 4 \\\\\\ r = \frac{12h}{32} = \frac{3h}8$

área lateral do cilindro é $\frac{16\pi}{3}$ unidades de área:
$2 \pi rh = \frac{16\pi}3 \\\\\\ 2 \pi \left(\frac{3h}8 \right)h = \frac{16\pi}3 \\\\\\ \frac{6 \pi h^2}8 = \frac{16\pi}3 \\\\\\ 9h^2 = 64 \\\\\\ h = \frac83$

assim:
$r = \frac{3 \left(\frac83 \right)}8 = 1$

logo: $R = 2(1) = 2$

portanto, volume da esfera:
$\frac{4\pi2^3}3 = \frac{32\pi}3$

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