Ensino Médio

Meu professor me passou esse desafio e não consigo resolvê-lo de jeito nenhum... Vejam se podem me ajudar:

Sabendo que a equação $x^4+bx^3+2x^2+ax+1=0$ admite ao menos uma solução real e $a, b \in \mathbb{R}$ , prove que $a^2+b^2\geq8$

Como todos os coeficientes são reais, então o polinômio tem 2 ou 4 raízes reais.

- Considerando que tem 4 raízes reais c,d,e,f, pelas relações de Girrard:

$\begin{cases} c+d+e+f=-b \\ cd+ce+cf+de+df+ef=2 \\ cdef=1 \end{cases}$

Daí

$c^2+d^2+e^2+f^2 = (c+d+e+f)^2 - 2 \cdot ( cd+ce+cf+de+df+ef)$
$c^2+d^2+e^2+f^2 = b^2 - 4$

O lado esquerdo é real e não negativo, então pela desigualdade entre médias:

$\frac{c^2+d^2+e^2+f^2}{4}\geq \sqrt[4]{c^2d^2e^2f^2}$
$c^2+d^2+e^2+f^2\geq 4c^2d^2e^2f^2$
$b^2 - 4 \geq 4 \cdot 1^2$
$b^2 \geq 8$

Como $a^2$ é real e não negativo:

$b^2+a^2 \geq 8$

Agora falta o caso onde são 2 raízes reais e 2 complexas, dá uma olhada se sai da mesma forma

Saiu!
$x^4+bx^3+2x^2+ax+1=0$
$x^2+bx+2+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
$(x+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}+(x+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+2=0$
$(x+\frac{b}{2})^2+(x+\frac{a}{2})^2+2=\frac{b^2}{4}+\frac{a^2}{4}$
É fácil ver que o lado esquerdo é maior ou igual a 2, então concluimos
$\frac{b^2}{4}+\frac{a^2}{4}\geq 2$
$\therefore a^2+b^2 \geq 8$

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