Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial - Cilindros Tópico resolvido

[cava107]

Olá Pessoal!

Não consigo fazer essa questão. Podem me ajudar?

O cilindro reto, de altura igual ao diâmetro da base, é cortado por um plano paralelo ao seu eixo e à distância d = 3cm do mesmo. A área da seção determinada pelo plano é 80 cm². Então, a área lateral do cilindro, em cm², é?

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A resposta do gabarito é 100π.

Muito Obrigado!

[LucasPinafi]

* Sabemos que a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base: D = h.
* O raio é igual a metade do diâmetro.
Podemos montar um triângulo retângulo de lados R, d e x, onde x é igual à metade do lado superior do corte do plano. Como a área do plano é 80cm², e

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[tex3]80 = h(2x) \therefore x = \frac{40} h[/tex3]

. Pelo teorema de Pitágoras,

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[tex3]R^2 =d^2 + x^2 = 9 +x^2 \therefore \left( \frac{D}{2} \right)^2 = 9 + \left (\frac{40}{h} \right)^2[/tex3]

. Organizando essa equação, e lembrando que D = h, ficamos com:

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[tex3]\frac{D^2}{4}= 9 + \frac{1600}{D^2} \therefore D^4 -36D^2 = 6400[/tex3]

Resolvendo essa equação para D²,

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[tex3]D^2 = \frac{36 \pm \sqrt{(-36)^2 - 4(1)(-6400)}}{2}=\frac{36 \pm 164}{2}[/tex3]

Como D é um número real positivo, temos que

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[tex3]D = \sqrt{\frac{36 + 164}{2}} = 10 \ \text{cm}[/tex3]

. A altura é igual é h = D = 10 cm. Logo a área lateral é dada por

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[tex3]A = 2\pi r h=2\pi \left(\frac{10}{2}\right) (10) = 100\pi[/tex3]

[cava107]

Amigão! Questão difícil ein! Acho que a confusão no enunciado é esse "d" que confunde com o "D" (do diâmetro).

Enfim! ótima explicação! Entendi tudo!!!!!

Muito obrigado amigo!

Abraços

Cava 107