Ensino Médio ⇒ Polinômios

[DaniStone]

Julgue Os itens abaixo em V ou F:

1 ( ) A soma de todos os zeros do polinômio p(x) = [tex3]x^{4}-4x^{3}+5x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{4}-4x^{3}+5x^{2}[/tex3]

pertence ao intervalo ]0,5].
2 ( ) 1 é a única raiz real do polinômio P(x) = [tex3]x^{3}+x^{2}-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3}+x^{2}-2[/tex3]

.
3 ( ) A equação [tex3]2x-1=\sqrt{x^{2}}[/tex3]

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[tex3]2x-1=\sqrt{x^{2}}[/tex3]

tem exatamente duas soluções reais.

[Rafa2604]

Julgue Os itens abaixo em V ou F:

1 (V) A soma de todos os zeros do polinômio [tex3]p(x) = x^{4}-4x^{3}+5x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x) = x^{4}-4x^{3}+5x^{2}[/tex3]

pertence ao intervalo ]0,5].
Se [tex3]p(x) = x^{4}-4x^{3}+5x^{2}[/tex3]

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[tex3]p(x) = x^{4}-4x^{3}+5x^{2}[/tex3]

, então temos que:
[tex3]x^{4}-4x^{3}+5x^{2} = 0 \; \rightarrow \; x^{2}(x^{2}-4x+5) = 0 \; \rightarrow \; x = 0 \; \text{ou} \; x^{2} - 4x + 5 = 0 \; \\ \;\rightarrow \; x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4.1.5} }{2.1} = \frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4\pm2\sqrt{-1}}{2} = \frac{4\pm2i}{2} = 2 \pm i \; \; \rightarrow \; x_{1} = 0, \; x_{2} = 0, \; x_{3} = 2+i, \; x_{4} = 2-i[/tex3]

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[tex3]x^{4}-4x^{3}+5x^{2} = 0 \; \rightarrow \; x^{2}(x^{2}-4x+5) = 0 \; \rightarrow \; x = 0 \; \text{ou} \; x^{2} - 4x + 5 = 0 \; \\ \;\rightarrow \; x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4.1.5} }{2.1} = \frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4\pm2\sqrt{-1}}{2} = \frac{4\pm2i}{2} = 2 \pm i \; \; \rightarrow \; x_{1} = 0, \; x_{2} = 0, \; x_{3} = 2+i, \; x_{4} = 2-i[/tex3]

Portanto, [tex3]x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 + 0 + (2+i) + (2-i) = 4[/tex3]

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[tex3]x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 + 0 + (2+i) + (2-i) = 4[/tex3]

Como a soma é igual a 4, então pertence ao intervalo ]0,5].

2 (V) 1 é a única raiz real do polinômio [tex3]P(x) = x^{3}+x^{2}-2.[/tex3]

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[tex3]P(x) = x^{3}+x^{2}-2.[/tex3]

Como 1 é uma das raízes do polinômio, então temos que:
[tex3]\frac{x^{3}+x^{2}-2}{x-1} = 0 \; \rightarrow \; x^{2}+2x+2 = 0 \; \rightarrow \; x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4.1.2 } }{2.1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 -8}} {2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{-1}}{2} = \frac{-2 \pm2i}{2} = -1 \pm i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{3}+x^{2}-2}{x-1} = 0 \; \rightarrow \; x^{2}+2x+2 = 0 \; \rightarrow \; x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4.1.2 } }{2.1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 -8}} {2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{-1}}{2} = \frac{-2 \pm2i}{2} = -1 \pm i[/tex3]

Como as outras raízes são complexas, então x = 1 é a única raiz real do polinômio.

3 (F) A equação [tex3]2x-1=\sqrt{x^{2}}[/tex3]

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[tex3]2x-1=\sqrt{x^{2}}[/tex3]

tem exatamente duas soluções reais.
[tex3]2x-1=\sqrt{x^{2}} \; \rightarrow \; 2x-1 = x \; \rightarrow \; x-1 = 0 \; \rightarrow \; x=1[/tex3]

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[tex3]2x-1=\sqrt{x^{2}} \; \rightarrow \; 2x-1 = x \; \rightarrow \; x-1 = 0 \; \rightarrow \; x=1[/tex3]

Portanto, a equação tem apenas 1 solução real.