Se alguém puder dar uma força agradeço.
A planificação da superfície lateral de um cone é um semi-círculo de raio 10√3. O volume do cone é
Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2016
17
05:10
Re: Geometria Espacial
Olá.
Quando planificado, o cone forma um semicírculo de raio [tex3]\;10\sqrt{3}[/tex3] .
Esse raio corresponde à geratriz do cone.
Assim temos temos [tex3]g=10\sqrt{3}[/tex3] .
Essa área planificada corresponde à área lateral do cone.
Se foi formado um semicírculo, ou seja metade de uma circunferência, a área dessa figura é dada por: [tex3]\frac{\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
(Lembrando que o raio do semicírculo corresponde à geratriz do cone e não ao raio da base.)
Assim temos:
[tex3]Area Lateral= \frac{\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
[tex3]\pi\cdot r\cdot g=\frac{\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
[tex3]\cancel\pi\cdot r\cdot g=\frac{\cancel\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
[tex3]r\cdot 10\sqrt{3}\,=\,\frac{(10\sqrt{3})^2}{2}[/tex3]
[tex3]r\cdot 10\sqrt{3}\,=\,\frac{300}{2}[/tex3]
[tex3]r\cdot 10\sqrt{3}\,=\,150[/tex3]
[tex3]r\,=\,\frac{150}{10\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed{r\,=\,5\sqrt{3}}[/tex3]
Como a geratriz, o raio e a altura do cone, formam um triângulo rectângulo temos:
[tex3]g^2\,=\,h^2+r^2[/tex3]
[tex3](10\sqrt{3})^2\,=\,h^2+(5\sqrt{3})^2[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,10^2(3)-5^2(3)[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,100\cdot 3\,-\,25\cdot 3[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,300-75[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,225[/tex3]
[tex3]h\,=\,\pm\sqrt{225}[/tex3]
[tex3]\boxed{h\,=\,15}[/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{1}{3}(Ab)\times h[/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{1}{3}[(\pi \times r^2) \times h][/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{[3,1416\times(5\sqrt{3})^2]\times15}{3}[/tex3]
[tex3]V\,=\frac{(3,1416\,\times\, 25\,\times\,3)\,\times\,15}{3}[/tex3]
[tex3]V\,=\frac{(235,62)\times15}{3}[/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{3534,3}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V\,=\,1178,1\; u^3}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Quando planificado, o cone forma um semicírculo de raio [tex3]\;10\sqrt{3}[/tex3] .
Esse raio corresponde à geratriz do cone.
Assim temos temos [tex3]g=10\sqrt{3}[/tex3] .
Essa área planificada corresponde à área lateral do cone.
Se foi formado um semicírculo, ou seja metade de uma circunferência, a área dessa figura é dada por: [tex3]\frac{\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
(Lembrando que o raio do semicírculo corresponde à geratriz do cone e não ao raio da base.)
Assim temos:
[tex3]Area Lateral= \frac{\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
[tex3]\pi\cdot r\cdot g=\frac{\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
[tex3]\cancel\pi\cdot r\cdot g=\frac{\cancel\pi\cdot g^2}{2}[/tex3]
[tex3]r\cdot 10\sqrt{3}\,=\,\frac{(10\sqrt{3})^2}{2}[/tex3]
[tex3]r\cdot 10\sqrt{3}\,=\,\frac{300}{2}[/tex3]
[tex3]r\cdot 10\sqrt{3}\,=\,150[/tex3]
[tex3]r\,=\,\frac{150}{10\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed{r\,=\,5\sqrt{3}}[/tex3]
Como a geratriz, o raio e a altura do cone, formam um triângulo rectângulo temos:
[tex3]g^2\,=\,h^2+r^2[/tex3]
[tex3](10\sqrt{3})^2\,=\,h^2+(5\sqrt{3})^2[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,10^2(3)-5^2(3)[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,100\cdot 3\,-\,25\cdot 3[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,300-75[/tex3]
[tex3]h^2\,=\,225[/tex3]
[tex3]h\,=\,\pm\sqrt{225}[/tex3]
[tex3]\boxed{h\,=\,15}[/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{1}{3}(Ab)\times h[/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{1}{3}[(\pi \times r^2) \times h][/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{[3,1416\times(5\sqrt{3})^2]\times15}{3}[/tex3]
[tex3]V\,=\frac{(3,1416\,\times\, 25\,\times\,3)\,\times\,15}{3}[/tex3]
[tex3]V\,=\frac{(235,62)\times15}{3}[/tex3]
[tex3]V\,=\,\frac{3534,3}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V\,=\,1178,1\; u^3}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Última edição: caju (Qua 01 Nov, 2017 00:49). Total de 2 vezes.
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