Ensino Médio ⇒ Sistemas de numeração/ Múltiplos e divisores Tópico resolvido

[olgario]

Um livro tem entre 700 e 750 páginas. Sua última página é um múltiplo de 9, e a quantidade de algarismos empregados na numeração de suas páginas é um número múltiplo de 12. Determinar a soma dos algarismos que constituem o número de páginas do livro.

R: 9
Por exemplo, se o livro tiver 702 , 711 ou 720 páginas teremos: (7+0+2) =9 ou (7+1+1) =9 ou (7+2+0) =9

Desde já agradeço pela ajuda.
Olgário

[ttbr96]

para que um número seja divisível por 9 a soma dos seus algarismos seja múltiplo de 9.
então, entre 700 e 750 são múltiplos de 9: 702, 711, 720, 729, 738 e 747.

a quantidade de algarismos de 1 a 700:
1 a 10 = 9 + (90 x 2) + 3 = 192
101 a 700 = 600 x 3 = 1800

total de algarismos: 192 + 1800 = 1992

para que um número seja divisível por 12, este número deve ser divisível por 3 e 4 simultaneamente.
para que um número seja divisível por 3, a soma dos seus algarismos seja múltiplo de 3.
para que um número seja divisível por 4, os dois últimos algarimos seja múltiplo de 4.

assim, 1992 é múltiplo de 12, ou seja:
1 + 9 + 9 + 2 = 21(múltiplo de 3) e
92 (dois últimos algarismos de 1992) é múltiplo de 4.

logo, deveremos achar entre os múltiplos de 9, listados acima, o intervalo cuja soma das quantidades de algarismos seja múltiplo de 12, já que 1992 é múltiplo de 12.

701 a 702 = 2 x 3 = 6 (não é divisível por 4)
701 a 711 = 11 x 3 = 33 (não é divisível por 4)
701 a 720 = 20 x 3 = 60 (é divisível por 3 e 4 simultaneamente)

logo, o total de algarismos empregados na numeração será: 60 + 1992 = 2052 (múltiplo de 12).

portanto, o livro tem 720 páginas e a sua soma é: 7 + 2 + 0 = 9.