Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[moreira90]

Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado k.

[Ittalo25]

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Vou usar alguns fatos que não demonstrarei, mas vou deixar em negrito pra você pesquisar.

As diagonais que "enxergam" o mesmo número de lados de um polígono regular têm mesma medida, no caso da questão marquei essas três diagonais que têm o mesmo comprimento "d", já que "enxergam" 2 lados do polígono.

Todo polígono regular é inscritível, ora, então esse quadrilátero da figura também é inscritível.

Já que o quadrilátero é inscritível, podemos usar o teorema de Ptolomeu:

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[tex3]d^2 = d\cdot k + k^2[/tex3]

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[tex3]d^2 - d\cdot k - k^2 = 0[/tex3]

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[tex3]d = \frac{k + \sqrt{k^2 + 4\cdot 1 \cdot k^2}}{2}[/tex3]

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[tex3]d = \frac{k\cdot (1+\sqrt{5}) }{2}[/tex3]