Ensino MédioLogaritmo Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Cotoneti
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Logaritmo

Mensagem não lida por Cotoneti »

[tex3]3\log_{5}x=\log_{5}x +1[/tex3]

Última edição: Cotoneti (Sex 03 Jun, 2016 01:18). Total de 1 vez.



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Ittalo25
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Jun 2016 03 01:29

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Ittalo25 »

3\log_{5}x=\log_{5}x +1

\log_{5}x^3-\log_{5}x= 1

\log_{5}\left(\frac{x^3}{x}\right)= 1

\log_{5}\left x^2= 1

x^2= 5

O x deve ser positivo porque é um logaritmando.

x= \sqrt{5}

Última edição: Ittalo25 (Sex 03 Jun, 2016 01:29). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Auto Excluído (ID:16348)
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Jun 2016 03 01:41

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) »

Olá,

Para responder a questão, você precisará de três propriedades dos logaritmos:
[tex3]log(a \cdot b) = log(a) + log(b)[/tex3]
[tex3]k\cdot log(a) = log(a^{k})[/tex3]
[tex3]log_{a}(a) = 1[/tex3]
Aplicando o que vimos em nosso problema:
[tex3]3\log_{5}x=\log_{5}x +1[/tex3]
[tex3]log_{5}x^{3} = \log_{5}x + log_{5}5[/tex3]
[tex3]log_{5}x^{3} = \log_{5}(x\cdot 5)[/tex3]
Aplicando a base 5 em ambos os lados:
[tex3]5^{log_{5}x^{3}} = 5^{\log_{5}(x\cdot 5)}[/tex3]
[tex3]x^{3} = x\cdot 5[/tex3]
[tex3]x^{2} = 5[/tex3]
[tex3]x = \pm \sqrt{5}[/tex3] , mas como é um logaritmo:
[tex3]x = \sqrt{5}[/tex3]

Por treino do algebrismo, vamos comprovar a igualdade com [tex3]x =\sqrt{5}[/tex3] :
a = [tex3]3\log_{5}x[/tex3]
b = [tex3]\log_{5}x +1[/tex3]

Para a:
a = [tex3]3\log_{5}x[/tex3]
Com [tex3]x =\sqrt{5}[/tex3]
a = [tex3]log_{5}(\sqrt{5})^{3}[/tex3]
a = [tex3]log_{5}(\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{5})[/tex3]
a = [tex3]log_{5}(5\sqrt{5})[/tex3]
Para b:
b = [tex3]\log_{5}x +1[/tex3]
b = [[tex3]\log_{5}x +log_{5}5[/tex3]
b = [[tex3]\log_{5}(x \cdot 5)[/tex3]
Com [tex3]x =\sqrt{5}[/tex3]
b = [tex3]\log_{5}(\sqrt{5}\cdot 5)[/tex3]
Veja que a = b, então nós encontramos o valor de x que permite que o lado esquerdo e direito da equação estejam relacionados.

Atenciosamente,
Pedro.

Última edição: Auto Excluído (ID:16348) (Sex 03 Jun, 2016 01:41). Total de 1 vez.



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