Ensino MédioLogaritmo

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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luca
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Logaritmo

Mensagem não lida por luca »

Sabendo que \log_{c}a = 6,42 ; \log_{c}b = 4,21 ; \log_{c} d = 2,31 determine \log c \left[\frac{a^{2} \cdot b^{5}}{b^{2}.d^{6}}\right]

a)\ 14,82
b)\ 39,33
c)\ 11,61
d)\ 25,61
e)\ 21,32

Última edição: luca (Dom 29 Mai, 2016 19:25). Total de 3 vezes.



Auto Excluído (ID:16348)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Mai 2016 30 13:02

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) »

Olá,
Vamos relembrar de algumas propriedades dos logaritmos:
1) [tex3]log_{c}(\frac{a}{b}) = log_{c}a - log_{c}b[/tex3]
2) [tex3]log_{c}({a}\cdot{b})[/tex3] = [tex3]log_{c}a + log_{c}b[/tex3]
Na questão apresentada temos como problema principal:
[tex3]\log_{c} \left(\frac{a^{2} \cdot b^{5}}{b^{2}.d^{6}}\right)[/tex3]
Aplicando as propriedades acima:
[tex3]\log_{c} \left(\frac{a^{2} \cdot b^{5}}{b^{2}.d^{6}}\right)[/tex3] =
[tex3]\log_{c} (a^{2} \cdot b^{5}) - log_{c}(b^{2}.d^{6})[/tex3] =
[tex3]\log_{c} (a^{2}) + \log_{c} (b^{5})[/tex3] - ([tex3]log_{c}(b^{2}) + \log_{c}(d^{6})[/tex3] ) =
[tex3]\log_{c} (a^{2}) + \log_{c} (b^{5}) - log_{c}(b^{2}) - \log_{c}(d^{6})[/tex3] .
Nesse momento, nós chegamos em um ponto onde as propriedades apresentadas acima PARECEM não nos ajudar mais. Se você não soubesse que
[tex3]\log_{c} (a^{b}) = b\cdot \log_{c} (a)[/tex3]
como resolveria?
Bom, vamos forçar um pouco a propriedade que chamei de 2:
[tex3]log_{c}({a}\cdot{b})[/tex3] = [tex3]log_{c}a + log_{c}b[/tex3]
Se b = a:
[tex3]log_{c}({a}\cdot{a})[/tex3] = [tex3]log_{c}a + log_{c}a[/tex3] = 2 [tex3]\cdot log_{c}a[/tex3]
O resultado final se parece muito com o que vimos no Ensino Médio:
[tex3]log_{c}({a}^{2})[/tex3] = 2 [tex3]\cdot log_{c}a[/tex3]
Logo, se você generalizar um pouco vai perceber que a propriedade 2 só se diferencia do que viu no Ensino Médio pelo "ritmo da passada". Enfim, podemos voltar ao problema:
[tex3]\log_{c} (a^{2}) + \log_{c} (b^{5}) - log_{c}(b^{2}) - \log_{c}(d^{6})[/tex3] =
2 [tex3]\cdot \log_{c}a[/tex3] + 5 [tex3]\cdot \log_{c}b[/tex3] - 2 [tex3]\cdot log_{c}b[/tex3] - 6 [tex3]\cdot \log_{c}d[/tex3] =
2 [tex3]\cdot \log_{c}a[/tex3] + 3 [tex3]\cdot \log_{c}b[/tex3] - 6 [tex3]\cdot \log_{c}d[/tex3] , como [tex3]\log_{c} a[/tex3] = 6,42; [tex3]\log_{c} b[/tex3] = 4,21 e [tex3]\log_{c}d[/tex3] = 2,31:
2 [tex3]\cdot[/tex3] 6,42 + 3 [tex3]\cdot[/tex3] 4,21 - 6 [tex3]\cdot[/tex3] 2,31
11,61
Letra C
Atenciosamente,
Pedro.

Última edição: Auto Excluído (ID:16348) (Seg 30 Mai, 2016 13:02). Total de 1 vez.



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