Ensino Médio

O apótema de uma pirâmide regular, com base hexagonal, é $9\sqrt{3}\text{ cm}$ . Se sua área lateral é o triplo da área de sua base, então, o seu volume, em $\text{cm}^3$ é:

a) $\frac{3\sqrt{323}}{4}$

b) $\frac{81\sqrt{35}}{4}$

c) $81\sqrt{3}$

d) $324\sqrt{2}$

Mensagem não lidapor **Gauss** » Sex 27 Mai, 2016 00:44 · Mensagem não lida por **Gauss** » Sex 27 Mai, 2016 00:44

Uma pirâmide hexagonal regular possui seis triângulos isósceles em suas faces, cujas bases coincidem com os lados do hexágono.

$A_l=3A_b\\\\\frac{6.b_T.h_T}{2}=\frac{3.6.l_H^2.\sqrt{3}}{4}\\\\\frac{6.l.A_p}{2}=\frac{3.6.l^2.\sqrt{3}}{4}\\\\\frac{6.9.\sqrt{3}}{2}=\frac{3.6.l.\sqrt{3}}{4}\rightarrow l=\ 6\ cm\\\\A_b=\frac{6.6^2.\sqrt{3}}{4}\rightarrow A_b=54\sqrt{3}\ cm^2\\\\ A_{pH}=\frac{l.\sqrt{3}}{2}\rightarrow A_{pH}=\frac{6\sqrt{3}}{2}\rightarrow A_{pH}=3\sqrt{3}\ cm\\\\A_p^2=h_p^2+A_{pH}^2\rightarrow h_p=\sqrt{(9\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^3}\rightarrow h_p=\sqrt{216}\ cm\\\\V=\frac{A_b.h_p}{3}\rightarrow V=\frac{54\sqrt{3}.\sqrt{216}}{3}\rightarrow \boxed {V=324\sqrt{2}\ cm^3}$

Cara, já está tarde. Hoje, quando eu logar no fórum, coloco o passo a passo da resolução.

Obrigado Gauss!

Mensagem não lidapor **Gauss** » Sex 27 Mai, 2016 21:03 · Mensagem não lida por **Gauss** » Sex 27 Mai, 2016 21:03

: Screenshot_5.jpg (11.66 KiB) Exibido 2493 vezes

Com a figura acima fica melhor para entender o que está acontecendo.

- $b_T$ e $h_T$ correspondem a base e a altura do triângulo da face da pirâmide.
- $l_H$ corresponde ao lado do hexágono e é a base do triângulo isósceles da face. Por isso eu substitui $b_T$ e $l_H$ por $l$ .
- $A_p$ é o apótema da pirâmide que, na figura, está simbolizado por $g$ . Perceba que o apótema da pirâmide corresponde à altura do triângulo de uma das faces, por isso eu substituí-lo em $h_T$ .
- $A_{pH}$ é o apótema da base da pirâmide (ou apótema do hexágono), e o mesmo corresponde à altura de um dos triângulos equiláteros que compõem o hexágono. Na figura, corresponde a letra $m$ .
- Daí utilizei Pitágoras para achar a altura da pirâmide como pode ser visto na figura acima.

OBS: Perdão pela demora. Acabei me esquecendo do tópico.

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