Ensino Médio

Dados $\cos\beta =3\cos\alpha$ e $\overline{AC}=x$ , qual o perímetro?

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a) $x(2+\sqrt{10)}$

b) $x(3+\sqrt{10)}$

c) $x(4+\sqrt{10)}$

d) $x (5+\sqrt{10)}$

Mensagem não lidapor **danjr5** » Sáb 11 Jun, 2016 18:59

$\begin{cases} \cos \alpha = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} \Rightarrow \overline{AB} = \frac{\overline{AC}}{\cos \alpha} \\\\ \cos \beta = \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \Rightarrow \overline{AB} = \frac{\overline{BC}}{\cos \beta} \end{cases}$

Igualando,

$\\ \frac{\overline{BC}}{\cos \beta} = \frac{\overline{AC}}{\cos \alpha} \\\\ \overline{BC} \cdot \cos \alpha = \overline{AC} \cdot \cos \beta \\\\ \overline{BC} \cdot \cos \alpha = \overline{AC} \cdot 3 \cdot \cos \alpha \\\\ \overline{BC} = 3 \cdot \overline{AC}$

Aplicando o Teorema de Pitágoras,

$\\ \overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 \\\\ \overline{AB}^2 = 9x^2 + x^2 \\\\ \overline{AB}^2 = 10x^2 \\\\ \overline{AB} = x\sqrt{10}$

Por fim,

$\\ 2p = \overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC} \\\\ 2p = x\sqrt{10} + x + 3x \\\\ \boxed{\bpxed{2p = (\sqrt{10} + 4)x}}$

Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

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