Considere um triângulo de catetos 18cm e 24cm. Calcule:
a) a distância do baricentro ao incentro;
b) a distância do baricentro ao ortocentro;
c) a distância do incentro ao circuncentro;
d) a distância do incentro ao ortocentro;
e) a distância do ortocentro ao circuncentro.
Ensino Médio ⇒ Pontos notáveis no triângulo
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Mai 2016
24
19:04
Re: Pontos notáveis no triângulo
O triângulo obviamente é retângulo com lados 18 24 30. Perceba que o ortocentro será o vértice onde está o ângulo de 90 graus, então seja A esse vértice. Vamos colocar este triângulo em um plano cartesiano, sendo A a origem do plano. Então
Já temos o baricentro e o ortocentro, falta o incentro e o circuncentro. O incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo. Podemos calcular o raio deste círculo através a fórmula: , onde p é o semiperímetro, logo . Veja que o incírculo tange todos os lados do triângulo, em específico os catetos, então você deve concordar comigo que para isso acontecer, o incentro deve estar em , pois assim o incírculo de raio 6 tangenciará os eixos cartesianos e consequentemente os catetos.
O circuncetro é trivial, ele está localizado no meio da hipotenusa, então basta achar o ponto médio da hipotenusa:
,
Deixo o cálculo das distâncias com você, basta utilizar a fórmula da distância de ponto a ponto ( ).
. O baricentro pode ser facilmente calculado pela geometria analítica: . As coordenadas dos vértices são , , . Colocando na fórmula: , .
Já temos o baricentro e o ortocentro, falta o incentro e o circuncentro. O incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo. Podemos calcular o raio deste círculo através a fórmula: , onde p é o semiperímetro, logo . Veja que o incírculo tange todos os lados do triângulo, em específico os catetos, então você deve concordar comigo que para isso acontecer, o incentro deve estar em , pois assim o incírculo de raio 6 tangenciará os eixos cartesianos e consequentemente os catetos.
O circuncetro é trivial, ele está localizado no meio da hipotenusa, então basta achar o ponto médio da hipotenusa:
,
Deixo o cálculo das distâncias com você, basta utilizar a fórmula da distância de ponto a ponto ( ).
Última edição: undefinied3 (Ter 24 Mai, 2016 19:04). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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