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stefanycastro

Considere um triângulo de catetos 18cm e 24cm. Calcule:
a) a distância do baricentro ao incentro;
b) a distância do baricentro ao ortocentro;
c) a distância do incentro ao circuncentro;
d) a distância do incentro ao ortocentro;
e) a distância do ortocentro ao circuncentro.

O triângulo obviamente é retângulo com lados 18 24 30. Perceba que o ortocentro será o vértice onde está o ângulo de 90 graus, então seja A esse vértice. Vamos colocar este triângulo em um plano cartesiano, sendo A a origem do plano. Então $O:(0,0)$ . O baricentro pode ser facilmente calculado pela geometria analítica: $G:(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ . As coordenadas dos vértices são $A:(0,0)$ , $B:(18,0)$ , $C:(0,24)$ . Colocando na fórmula: $G:(\frac{0+18+0}{3},\frac{0+0+24}{3})$ , $G:(6,8)$ .
Já temos o baricentro e o ortocentro, falta o incentro e o circuncentro. O incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo. Podemos calcular o raio deste círculo através a fórmula: $A=pr$ , onde p é o semiperímetro, logo $216=36r \rightarrow r=6$ . Veja que o incírculo tange todos os lados do triângulo, em específico os catetos, então você deve concordar comigo que para isso acontecer, o incentro deve estar em $I : (6,6)$ , pois assim o incírculo de raio 6 tangenciará os eixos cartesianos e consequentemente os catetos.
O circuncetro é trivial, ele está localizado no meio da hipotenusa, então basta achar o ponto médio da hipotenusa:
$C:(\frac{0+18}{2},\frac{24+0}{2})$ , $C : (9,12)$
Deixo o cálculo das distâncias com você, basta utilizar a fórmula da distância de ponto a ponto ( $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ ).

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Pontos notáveis no triângulo

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