Ensino Médio ⇒ Equação Polinomial Tópico resolvido
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Mar 2007
28
16:59
Equação Polinomial
A equação [tex3]x^3\, -\, 8px^2\, +\, x\, - q\, =\, 0[/tex3]
admite a raiz 1 com multiplicidade 2. Determine [tex3]p[/tex3]
e [tex3]q[/tex3]
.
Última edição: bruninha (Qua 28 Mar, 2007 16:59). Total de 1 vez.
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Mar 2007
28
18:21
Re: Equação Polinomial
a terceira raiz é [tex3]k:[/tex3]
[tex3]x^3\, -\, 8px^2\, +\, x\, - q\, =\, (x-1)(x-1)(x-k)[/tex3]
desenvolva o segundo membro e compare os dois
[tex3]x^3\, -\, 8px^2\, +\, x\, - q\, =\, (x-1)(x-1)(x-k)[/tex3]
desenvolva o segundo membro e compare os dois
Última edição: Thales Gheós (Qua 28 Mar, 2007 18:21). Total de 1 vez.
"Si non e vero, e bene trovato..."
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Mar 2007
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18:48
Re: Equação Polinomial
Olá bruninha,
Continuando a resolução do Thales,
Se a raiz 1 é de multiplicidade 2, significa que a fatoração do polinômio admite dois fatores iguais a [tex3](x-1)[/tex3] . Mas como é de terceiro grau, possui também uma terceira raiz.
Se não sabemos que raiz é essa, chamamos ela de k. Ou seja, a fatoração do polinômio admite um fator igual a [tex3](x-k)[/tex3] também. Portanto, a fatoração deste polinômio é:
[tex3]x^3 - 8px^2 + x - q = (x-1)(x-1)(x-k)[/tex3]
Desenvolvendo o lado direito da equação, ficamos com:
[tex3]x^3 - 8px^2 + x - q = x^3-(2+k)x^2+(1+2k)x-k[/tex3]
Agora caímos em uma igualdade de polinômios. Cada parcela do lado esquerdo deve ter uma correspondente igual do lado direito.
Igualando as parcelas de [tex3]x^2[/tex3] temos:
(1) [tex3]8p=2+k[/tex3]
Igualando as parcelas de [tex3]x[/tex3]
(2) [tex3]1=1+2k[/tex3]
Igualando as parcelas independentes:
(3) [tex3]q=k[/tex3]
De (2) vemos que [tex3]k=0[/tex3] . Com este resultado e (3) vemos que [tex3]q=0[/tex3] também.
Agora, em (1), substituindo [tex3]k=0[/tex3] temos:
[tex3]p=\frac{1}{4}[/tex3]
Continuando a resolução do Thales,
Se a raiz 1 é de multiplicidade 2, significa que a fatoração do polinômio admite dois fatores iguais a [tex3](x-1)[/tex3] . Mas como é de terceiro grau, possui também uma terceira raiz.
Se não sabemos que raiz é essa, chamamos ela de k. Ou seja, a fatoração do polinômio admite um fator igual a [tex3](x-k)[/tex3] também. Portanto, a fatoração deste polinômio é:
[tex3]x^3 - 8px^2 + x - q = (x-1)(x-1)(x-k)[/tex3]
Desenvolvendo o lado direito da equação, ficamos com:
[tex3]x^3 - 8px^2 + x - q = x^3-(2+k)x^2+(1+2k)x-k[/tex3]
Agora caímos em uma igualdade de polinômios. Cada parcela do lado esquerdo deve ter uma correspondente igual do lado direito.
Igualando as parcelas de [tex3]x^2[/tex3] temos:
(1) [tex3]8p=2+k[/tex3]
Igualando as parcelas de [tex3]x[/tex3]
(2) [tex3]1=1+2k[/tex3]
Igualando as parcelas independentes:
(3) [tex3]q=k[/tex3]
De (2) vemos que [tex3]k=0[/tex3] . Com este resultado e (3) vemos que [tex3]q=0[/tex3] também.
Agora, em (1), substituindo [tex3]k=0[/tex3] temos:
[tex3]p=\frac{1}{4}[/tex3]
Última edição: caju (Qua 28 Mar, 2007 18:48). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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