Ensino Médio ⇒ Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[Hazengard]

Qual é o número de soluções que a equação

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[tex3]sen\ 2x=sen\ x[/tex3]

admite no intervalo

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[tex3]-\frac{\pi }{4}\leq x\leq \frac{5\pi }{4}[/tex3]

?

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[tex3]sen\ 2x=sen\ x\\\\2sen\ x.cos\ x-sen\ x=0\\\\\begin{cases}
sen\ x=0 \\
cos\ x=\frac{1}{2}
\end{cases}\\\\sen\ x=0\rightarrow x=k\pi \\\\k=0\rightarrow x=0\\\ k=1\rightarrow x=\pi \\\\cos\ x=\frac{1}{2}\rightarrow \begin{cases}
cos\ x=\frac{\pi }{3}+2k\pi\ I\\
cos\ x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi\ II
\end{cases}\\\\I)\ k=0\rightarrow x=\frac{\pi }{3}[/tex3]

Para qualquer valor inteiro positivo de k no termo II não há soluções no intervalo pedido. Então, eu achei 3 soluções até aqui.

Minha dúvida:

Eu sei que isso é bastante simples, mas como faço para achar as soluções que estão contidas no sentido horário do ciclo trigonométrico. Toda vez que aparece esses intervalos negativos, eu não sei as achar as soluções no intervalo negativo. Se possível, tem como achar essas soluções pelo mesmo método que utilizei para achar as outras soluções?

Resposta

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4

[poisedom]

respondendo a sua pergunta
para achar as soluções que estão contidas no sentido horário do ciclo trigonométrico, toda vez que aparece esses intervalos negativos, basta somar

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[tex3]2\pi[/tex3]

, então

por exemplo

em

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[tex3]I[/tex3]

se

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[tex3]k=-1[/tex3]

logo teremos

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[tex3]\frac{\pi}{3}-2\pi=\frac{\pi-6\pi}{3}=-\frac{5\pi}{3}[/tex3]

como

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[tex3]-\frac{5\pi}{3}[/tex3]

é negativo, para achar o valor correspondente positivo façamos

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[tex3]-\frac{5\pi}{3}=-\frac{5\pi}{3}+2\pi=\frac{-5\pi+6\pi}{3}=\frac{\pi}{3}[/tex3]

agora observe os gráficos de

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[tex3]sen(x)[/tex3]

e

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[tex3]sen(2x)[/tex3]

Veja que eles, no intervalo

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[tex3]-\frac{\pi }{4}\leq x\leq \frac{5\pi }{4}[/tex3]

, se interceptam apenas 3 vezes, portanto sua resposta esta certa e o gabarito que vc postou não

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[Hazengard]

Muito obrigado!