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Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Limites

Mensagem não lida por Cientista »

Calcule:

lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)}

Última edição: Cientista (Seg 11 Abr, 2016 20:26). Total de 1 vez.


Força e bons estudos!

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poisedom
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Re: Limites

Mensagem não lida por poisedom »

lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)} =lim_{x\rightarrow 0}e^{ln(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)}}

tem uma propriedade dos limites que diz: lim_{x\rightarrow a}e^{f(x)}=e^{lim_{x\rightarrow a}{f(x)}}. Assim

lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)} =e^{lim_{x\rightarrow 0}{ln(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)}}}
lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)} =e^{lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{ln(x+1)}.ln(e^{2x}+Sin(3x))}
lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)} =e^{lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ln(e^{2x}+Sin(3x))}{ln(x+1)}}

Aplicando L´Hospital temos:

lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)} =e^{lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\frac{2e^{2x}+3cos(3x)}{e^{2x}+Sin(3x)}}}{{\frac{1}{x+1}}}
lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)} =e^{\frac{{\frac{2+3}{1+0}}}{{\frac{1}{1}}}
lim_{x\rightarrow 0}(e^{2x}+Sin(3x))^{\frac{1}{ln(x+1)} =e^5

Última edição: poisedom (Ter 12 Abr, 2016 07:54). Total de 1 vez.



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Re: Limites

Mensagem não lida por Cientista »

Duas dúvidas:

1.a Por que você pôs ln em (e^2x+Sin(3x))?
2.a Seria possível resolver sem usar L'Hospital?


Força e bons estudos!

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poisedom
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Re: Limites

Mensagem não lida por poisedom »

Em relação a pergunta 1.

como e^{ln(a)}=a eu utilizei essa propriedade, pois assim sem alterar a expressão eu conseguiria colocar um logaritmo na expressão e usar a propriedade log b^c=c.log b para transformar a exponencial em um produto

Em relação a pergunta 2.

Pode ser que exista, mas eu não sei.

Última edição: poisedom (Qui 14 Abr, 2016 23:47). Total de 1 vez.



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