Ensino Médio

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » 07 Abr 2016, 13:12 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » 07 Abr 2016, 13:12

Dado o sistema [tex3]\{\text{3x + 2y + t = 4}\\ \text{5x + ay + 5t = b}\\ \text{x - y + 2t = 2}[/tex3]

Discutí-lo mediante o emprego do Teorema de Rouché.

Mensagem não lidapor **Thadeu** » 08 Abr 2016, 13:51 · Mensagem não lida por **Thadeu** » 08 Abr 2016, 13:51

[tex3]A\,=\,\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & a & 5 \\
1 & -1 & 2 \\
\end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]B\,=\,\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 & 4 \\
5 & a & 5 & b \\
1 & -1 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Escalonando A:
5(1ª linha) + (-3)(2ª linha)
1ª linha + (-3) (3ª linha)

[tex3]\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
0 & 10-3a & -10 \\
0 & 5 & -5 \\
\end{pmatrix}\Rightarrow \rho (A)=3[/tex3]
[tex3]\rho (A)[/tex3] é o número de linhas não nulas da matriz escalonada (ou característica de A)

Escalonando B
5(1ªlinha) + (-3)(2ªlinha)
1ª linha + (-3)(3ªlinha)

[tex3]\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 & 4 \\
0 & 10-3a & -10 & 20-3b \\
0 & 5 & -5 & -8 \\
\end{pmatrix}\Rightarrow \rho (B)=3[/tex3]

Como [tex3]\rho (A)=\rho (B)=3=n[/tex3] , onde n é o número de linhas, o sistema é possível e determinado

Mensagem não lidapor **MPSantos** » 09 Abr 2016, 19:02 · Mensagem não lida por **MPSantos** » 09 Abr 2016, 19:02

Atenção que a característica da matriz depende do valor de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] , por isso não é sempre [tex3]3[/tex3] .

[tex3]A\,=\,\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 5 & a & 5 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}; \; A|B\,=\,\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 & 4 \\ 5 & a & 5 & b \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

O candidato para determinante principal da matriz dos coeficientes é:

[tex3]\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 5 & a & 5 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

desde que o determinante não seja nulo.

Então, se [tex3]\|\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 5 & a & 5 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\|=5a \neq 0[/tex3] , ou seja, se [tex3]a\neq0[/tex3] , e como todas as equações e como todas as incógnitas são principais, então o sistema diz-se possível e determinado.

No entanto, se [tex3]\|\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 5 & a & 5 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\|=5a = 0[/tex3] , ou seja, se [tex3]a=0[/tex3] , o determinante não é principal.

Neste caso, temos que escolher outro determinante principal. O determinante principal da matriz dos coeficientes têm ordem 2, vamos escolher para determinante principal do sistema o determinante da submatriz determinada pelas primeira e terceira equações e as variáveis [tex3]x[/tex3] e [tex3]z[/tex3] , ou seja,

[tex3]\|\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\|=5 \neq 0[/tex3] .

Como consequeência, a primeira e terceira equações são as equações principais e as variáveis [tex3]x[/tex3] e [tex3]z[/tex3] são as incógnitas principais.

O determinante característico da terceira equação é o determinante

[tex3]\|\begin{pmatrix}3 & 1 & 4\\ 5 & 5 & b\\ 1 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\|=-5b+40[/tex3]

Então, se [tex3]-5b+40=0[/tex3] , ou seja, [tex3]b=8[/tex3] , o sistema é compatível (possível e indeterminado).

Porêm se [tex3]b \neq 8[/tex3] , o sistema é incompatível (impossível).

Em suma,

- se [tex3]a \neq 0[/tex3] e [tex3]b \in \mathbb{R}[/tex3] , o sistema é possível e determinado;
- se [tex3]a = 0[/tex3] e [tex3]b=8[/tex3] , o sistema é possível e indeterminado;
- se [tex3]a = 0[/tex3] e [tex3]b \neq 8[/tex3] , o sistema é impossível.

Espero ter ajudado. Cumprimentos.

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