Ensino Médio

Se [tex3]3\sec x=2+\(tanx) ^{2}[/tex3] , então calcule o valor de [tex3]7\(sin x)^{2}+\(cos x) ^{4}[/tex3]

Primeiramente determinemos os valores de $\sin(x)$ e $\cos(x)$

$3 \sec x = 2 + \tan ^2 (x) \Rightarrow \dfrac{3}{\cos(x)}=2+ \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ .

Multiplicando $\cos^2(x)$ na igualdade e sabendo que $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ :

$3 \cos(x) = 2 \cos^2 + 1 - \cos^2(x) \Rightarrow cos^2(x) - 3 \cos(x) +1=0$ .

Substituindo: $y = \cos(x)$

$y^2-3y+1=0$ .

Daí é só determinar y, pois $y= \cos(x)$ e como você sabe que: $\sin^2(x) = 1- cos^2 (x)$ .

Determinou $\sin(x)$ e $\cos(x)$ é só jogar na expressão.

olá,toplel94.
Resolvendo a equação e substituindo o valor na expressão obtenho um valor diferente do gabarito:
O opção são a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
Gabarito:b

$3 \sec x = 2 + \tan ^2 (x)$

$cos^2(x) - 3 \cos(x) +1=0$

$cos^2(x) +1= 3 \cos(x)$

$cos^4(x)+2\cdot cos^2(x) +1= 9 \cos^2(x)$

$cos^4(x)-7\cdot cos^2(x) = -1$

_______________________________________________________________________

$7\cdot sin^2 x+cos^4 x$

$7\cdot (1-cos^2x) +cos^4 x$

$7-7cos^2 x+cos^4 x$

$7-1$

$6$

Ittalo25 escreveu: $3 \sec x = 2 + \tan ^2 (x)$

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[tex3]3 \sec x = 2 + \tan ^2 (x)[/tex3]

$cos^2(x) - 3 \cos(x) +1=0$

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[tex3]cos^2(x) - 3 \cos(x) +1=0[/tex3]

$cos^2(x) +1= 3 \cos(x)$

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[tex3]cos^2(x) +1= 3 \cos(x)[/tex3]

$cos^4(x)+2\cdot cos^2(x) +1= 9 \cos^2(x)$

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[tex3]cos^4(x)+2\cdot cos^2(x) +1= 9 \cos^2(x)[/tex3]

$cos^4(x)-7\cdot cos^2(x) = -1$

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[tex3]cos^4(x)-7\cdot cos^2(x) = -1[/tex3]

_______________________________________________________________________

$7\cdot sin^2 x+cos^4 x$

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[tex3]7\cdot sin^2 x+cos^4 x[/tex3]

$7\cdot (1-cos^2x) +cos^4 x$

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[tex3]7\cdot (1-cos^2x) +cos^4 x[/tex3]

$7-7cos^2 x+cos^4 x$

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[tex3]7-7cos^2 x+cos^4 x[/tex3]

$7-1$

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[tex3]7-1[/tex3]

$6$

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[tex3]6[/tex3]

Calma aí, agora fiquei curioso. De fato você utilizou um artifício bom para conseguir chegar ao resultado. A questão é: Por que ele não conseguiu chegar ao resultado utilizando as mínimas manipulações algébricas que eu fiz? Haha.

$y^2-3y+1=0$
$\Delta = 9-4=5$
$cos(x)=\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 1$ , não é solução
$cos(x)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ é solução.
$cos^2(x)=\frac{9-6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$
$sen^2(x)=1-\frac{14-6\sqrt{5}}{4}=\frac{4-14+6\sqrt{5}}{4}=\frac{-10+6 \sqrt{5}}{4}$
$cos^4(x)=\frac{196-168\sqrt{5}+180}{16}=\frac{376-168\sqrt{5}}{16}=\frac{94-42 \sqrt{5}}{4}$
O valor pedido é:
$7sin^2(x)+cos^4(x)=7\left (\frac{-10+6\sqrt{5}}{4} \right) + \frac{94-42\sqrt{5}}{4}=\frac{-70+42\sqrt{5}+94-42\sqrt{5}}{4}=$
$\frac{24}{4}=6$
A resposta bate sim, deve ter ocorrido algum erro de conta quando tentou resolver.

undefinied3 escreveu: $y^2-3y+1=0$

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[tex3]y^2-3y+1=0[/tex3]

$\Delta = 9-4=5$

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[tex3]\Delta = 9-4=5[/tex3]

$cos(x)=\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 1$

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[tex3]cos(x)=\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 1[/tex3]

, não é solução
$cos(x)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

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[tex3]cos(x)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}[/tex3]

é solução.
$cos^2(x)=\frac{9-6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$

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[tex3]cos^2(x)=\frac{9-6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}[/tex3]

$sen^2(x)=1-\frac{14-6\sqrt{5}}{4}=\frac{4-14+6\sqrt{5}}{4}=\frac{-10+6 \sqrt{5}}{4}$

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[tex3]sen^2(x)=1-\frac{14-6\sqrt{5}}{4}=\frac{4-14+6\sqrt{5}}{4}=\frac{-10+6 \sqrt{5}}{4}[/tex3]

$cos^4(x)=\frac{196-168\sqrt{5}+180}{16}=\frac{376-168\sqrt{5}}{16}=\frac{94-42 \sqrt{5}}{4}$

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[tex3]cos^4(x)=\frac{196-168\sqrt{5}+180}{16}=\frac{376-168\sqrt{5}}{16}=\frac{94-42 \sqrt{5}}{4}[/tex3]

O valor pedido é:
$7sin^2(x)+cos^4(x)=7\left (\frac{-10+6\sqrt{5}}{4} \right) + \frac{94-42\sqrt{5}}{4}=\frac{-70+42\sqrt{5}+94-42\sqrt{5}}{4}=$

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[tex3]7sin^2(x)+cos^4(x)=7\left (\frac{-10+6\sqrt{5}}{4} \right) + \frac{94-42\sqrt{5}}{4}=\frac{-70+42\sqrt{5}+94-42\sqrt{5}}{4}=[/tex3]

$\frac{24}{4}=6$

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[tex3]\frac{24}{4}=6[/tex3]

A resposta bate sim, deve ter ocorrido algum erro de conta quando tentou resolver.

Ah sim, mas essa resolução é bem mais vulgar, haha.

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