Ensino Médio ⇒ Inequações Logarítmicas Tópico resolvido

[Insight]

Determine os valores de a para os quais as raízes da equação

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[tex3]x^2-2x-log_2a=0[/tex3]

são números reais.

Resposta

---

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[tex3]a\geq \frac{1}{2}[/tex3]

Eu entendo que o valor de delta deve ser maior ou igual à zero, mas não consigo resolver a inequação em si. Alguém pode me ajudar?

[Gauss]

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[tex3]x^2-2x-log_2\ a=0\\\Delta =(-2)^2-(4).(1).(-log_2\ a)\\4+4log_2\ a\geq 0\\log_2\ a\geq -1\\\\C.E.:a>0\ \boxed {I}\\\\log_2\ a\geq log_2\ \left(\frac{1}{2}\right)\\a\geq \frac{1}{2}\ \boxed {II}\\\\\boxed {I}\ \cap \ \boxed {II}\rightarrow S=(a\in \mathbb{R}/\ a\geq \frac{1}{2})[/tex3]

[Insight]

Não entendi o segundo passo. Por quê

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[tex3]log_2\ a\geq log_2\ \left(\frac{1}{2}\right)[/tex3]

?

[Gauss]

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[tex3]log_2\ a\geq -1=log_2\ a\geq log_2\ \left(\frac{1}{2}\right)[/tex3]

Utilizei este artifício para fazer com que ambos os lados tenham a mesma base e, consequentemente, para saber como a desigualdade se comporta, pois se a base estivesse num intervalo

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[tex3]]0,1[[/tex3]

a desigualdade se inverteria.