Ensino Médio ⇒ Raízes do polinômio Tópico resolvido

[biafv]

Tô empacada há muitas horas nessa questão, mesmo já tendo achado as resoluções na internet... Parece que tudo o que acho em outros sites não está bem feito e que a pessoa embromou pra chegar no resultado certo.

"Os números -1 e 1 são duas raízes do polinômio P (x) = cx³ + ax² + bx + 2c. A terceira raiz de P (x) é:

a) -3
b) -2
c) 0
d) 1/2
e) 2

Em alguns lugares eu acho falando que o valor de b é 3c e em outros eu encontro falando que b= -c (eu só encontro isso), enfim.

A resposta da questão é 2. Alguém me ajuda, por favor?

[undefinied3]

Seja p a última raiz. Por Girad, temos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]p+1-1=-\frac{a}{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]p*1+p(-1)+1(-1)=\frac{b}{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]1*p*(-1)=-\frac{2c}{c}[/tex3]

Só precisamos utilizar a última equação:

Código: Selecionar tudo

[tex3]-p=-2 \rightarrow p=2[/tex3]

[MPSantos]

Hey...
Eu pensaria do seguinte modo.
Se [tex3]-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1[/tex3]

e [tex3]1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1[/tex3]

são duas raízes do polinómio [tex3]P(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x)[/tex3]

, então [tex3]P(1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(1)=0[/tex3]

e [tex3]P(-1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(-1)=0[/tex3]

.

[tex3]\begin{cases}
P(1)=0 \\
P(-1)=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
P(1)=0 \\
P(-1)=0
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
c+a+b+2c=0 \\
-c+a-b+2c=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
c+a+b+2c=0 \\
-c+a-b+2c=0
\end{cases}[/tex3]

"Brincando" com estas duas equações tiramos que:

[tex3]\begin{cases}
2b+2c=0 \\
c=b-a
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2b+2c=0 \\
c=b-a
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
c=-b \\
c=b-a
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
c=-b \\
c=b-a
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
b=-c \\
a=-2c
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
b=-c \\
a=-2c
\end{cases}[/tex3]

Então podemos reescrever o polinómio da seguinte fórmula:

[tex3]P (x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c[/tex3]

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[tex3]P (x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c[/tex3]

[tex3]P (x) = cx^3 -2c x^2 -c x + 2c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P (x) = cx^3 -2c x^2 -c x + 2c[/tex3]

[tex3]P (x) = c(x^3 -2 x^2 - x + 2)[/tex3]

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[tex3]P (x) = c(x^3 -2 x^2 - x + 2)[/tex3]

Olhando para as hipóteses, apenas [tex3]P(2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(2)=0[/tex3]

, então 2 será a outra raiz.

(Ou então usando a regra o Ruffini para descer o grau do polinómio e descobrir a outra raiz.)

Espero que entenda desta maneira.

Cumprimentos.

[biafv]

Seja p a última raiz. Por Girad, temos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]p+1-1=-\frac{a}{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]p*1+p(-1)+1(-1)=\frac{b}{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]1*p*(-1)=-\frac{2c}{c}[/tex3]

Só precisamos utilizar a última equação:

Código: Selecionar tudo

[tex3]-p=-2 \rightarrow p=2[/tex3]

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Muito obrigada!!! Me ajudou muito! Inicialmente fiquei confusa com o -2c/c , aí fui ver que o produto das raízes é igual a -d/a, e que 2c é o D da questão e c é o A :3