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Mensagem não lidapor **ALDRIN** » Qui 17 Mar, 2016 13:01 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » Qui 17 Mar, 2016 13:01

Seja o sistema de equações:

[tex3]\text{x}^2\text{y}^2=36[/tex3] ,
[tex3](\text{x}^2+\text{y}^2+42)^{\text{x}}=1000000[/tex3] ,
[tex3](\text{x}^2+\text{y}^2+42)^{\text{z}}=10000[/tex3] , com [tex3]\text{x}[/tex3] , [tex3]\text{y}[/tex3] , [tex3]\text{z} \in \mathbb{N}[/tex3] .

Se a solução do sistema é [tex3](\text{x}_0,\ \text{y}_0,\ \text{z}_0)[/tex3] , determine [tex3]\text{x}_0+ \text{y}_0+ \text{z}_0[/tex3] .

(A) [tex3]4[/tex3] .
(B) [tex3]6[/tex3] .
(C) [tex3]8[/tex3] .
(D) [tex3]10[/tex3] .
(E) [tex3]12[/tex3] .

Hey, não há nenhum erro no sistema de equações?

É que pegando na primeira equação tiramos que:

[tex3]x^2y^2=36 \Leftrightarrow (xy)^2=36 \Leftrightarrow xy=6 \vee xy=-6[/tex3]

Como [tex3]x,y \in \mathbb{N}[/tex3] , então [tex3]xy=6[/tex3] e:
[tex3]x=1 \wedge y=6[/tex3]
[tex3]x=2 \wedge y=3[/tex3]
[tex3]x=3 \wedge y=2[/tex3]
[tex3]x=6 \wedge y=1[/tex3]

E nenhum destes pares [tex3](x,y)[/tex3] satisfaz a próxima equação:
[tex3](\text{x}^2+\text{y}^2+42)^{\text{x}}=1000000[/tex3]

Não sei se estou a pensar mal, mas penso que não.
Cumprimentos.

Creio que a solução seja a seguinte:
$x^2 \cdot y^2=36 \Longleftrightarrow x \cdot y = 6$

Sabemos que:
$x^2+ 2xy+y^2=(x+y)^2$
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
$x^2+y^2=(x+y)^2-2 \cdot 6$
$x^2+y^2=(x+y)^2-12$

Substituindo esses resultados nas outras equações dadas:
$\left(x^2+y^2-42 \right)^x=10^6$
$\left[\left(x+y\right)^2-12+42\right]^x=10^6$
$\left[\left(x+y\right)^2+30\right]^x=10^6$
$\log \left\{\left[\left(x+y\right)^2+30\right]\right\}^x=\log 10^6\right$
$x\log \left[\left(x+y\right)^2+30\right]=6 \cdot \log10$
$\log \left[\left(x+y\right)^2+30\right]=\frac{6}{x} \,\,\,\, (I)$

$\left(x^2+y^2-42 \right)^z=10^5$
$\left[\left(x+y\right)^2-12+42\right]^z=10^5$
$\left[\left(x+y\right)^2+30\right]^z=10^5$
$\log \left\{\left[\left(x+y\right)^2+30\right]\right\}^z=\log 10^5\right$
$z\log \left[\left(x+y\right)^2+30\right]=5 \cdot \log10$
$\log \left[\left(x+y\right)^2+30\right]=\frac{5}{z} \,\,\,\, (II)$

$I=II$
$\frac{6}{x}=\frac{5}{z}$
$5x=6z$
Como são número naturais: $x=6 \ e \ z=5$ e ela relação $xy=6$ , temos que $y=1$

Logo:
$x+y+z=6+5+1=12$

Espero ter ajudado!

Um pormenor:

[tex3]\left(x^2+y^2+42 \right)^z=10000[/tex3]

Então:

[tex3]\left(x^2+y^2+42 \right)^z=10^4[/tex3]

e não

[tex3]\left(x^2+y^2+42 \right)^z=10^5[/tex3] .

Cumprimentos.

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