Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Thadeu** » Seg 29 Fev, 2016 19:41 · Mensagem não lida por **Thadeu** » Seg 29 Fev, 2016 19:41

O resto da divisão de [tex3]1\,+\,x\,+\,x^{2}\,+...+\,x^{100}[/tex3] por [tex3]x^{2}\,-\,1[/tex3] é:

a) 0
b) x + 1
c) 50x + 50
d) 50x + 51
e) 51x + 50

$x^2 \equiv 1 \mod(x^2-1)$

Potencias pares sao congruentes a 1, potencias impares a x.

O resto fica:

$1+50+50x$

$51+50x$

Mensagem não lidapor **Thadeu** » Ter 01 Mar, 2016 10:58 · Mensagem não lida por **Thadeu** » Ter 01 Mar, 2016 10:58

[tex3]f(x)\.=\,1+x+x^{2}+...+x^{100}[/tex3]
[tex3]x^{2}-1=(x+1)\,(x-1)[/tex3]

Calculando o Resto de [tex3]\frac{f(x)}{x+1}=f(-1) \rightarrow f(-1)=1[/tex3]

Calculando o resto de [tex3]\frac{f(x)}{x-1}=f(1)\rightarrow f(1)=101[/tex3]

[tex3]\frac{f(x)}{x^{2}-1}=q(x)+R(x)[/tex3] , onde q é o quociente e R é o resto da divisão.
Como o quociente é um polinômio do 2º grau, R deverá ser um polinômio do 1º grau, então [tex3]R(x)=ax+b[/tex3]

Fazendo [tex3]f(x)=q(x)\,(x+1)\,(x-1)+ax+b[/tex3]

[tex3]f(-1)=q(-1)\,(-1+1)\,(-1-1)+a(-1)+b\rightarrow f(-1)=-a+b\rightarrow -a+b=1[/tex3]
[tex3]f(1)=q(1)\,(1+1)\,(1-1)+a(1)+b\rightarrow f(1)=a+b\rightarrow a+b=101[/tex3]

Resolvendo o sistema:
[tex3]\begin{cases}
-a+b=1 \\
a+b=101
\end{cases}[/tex3]
Temos [tex3]a=50\,\,e\,\,b=51[/tex3] , logo o resto é [tex3]R(x)=50x+51[/tex3]

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