O resto da divisão de [tex3]1\,+\,x\,+\,x^{2}\,+...+\,x^{100}[/tex3]
a) 0
b) x + 1
c) 50x + 50
d) 50x + 51
e) 51x + 50
por [tex3]x^{2}\,-\,1[/tex3]
é:Ensino Médio ⇒ Divisão de polinômios Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2016
29
19:41
Divisão de polinômios
Última edição: Thadeu (Seg 29 Fev, 2016 19:41). Total de 1 vez.
Fev 2016
29
21:14
Re: Divisão de polinômios
Potencias pares sao congruentes a 1, potencias impares a x.
O resto fica:
Última edição: Ittalo25 (Seg 29 Fev, 2016 21:14). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Mar 2016
01
10:58
Re: Divisão de polinômios
[tex3]f(x)\.=\,1+x+x^{2}+...+x^{100}[/tex3]
[tex3]x^{2}-1=(x+1)\,(x-1)[/tex3]
Calculando o Resto de [tex3]\frac{f(x)}{x+1}=f(-1) \rightarrow f(-1)=1[/tex3]
Calculando o resto de [tex3]\frac{f(x)}{x-1}=f(1)\rightarrow f(1)=101[/tex3]
[tex3]\frac{f(x)}{x^{2}-1}=q(x)+R(x)[/tex3] , onde q é o quociente e R é o resto da divisão.
Como o quociente é um polinômio do 2º grau, R deverá ser um polinômio do 1º grau, então [tex3]R(x)=ax+b[/tex3]
Fazendo [tex3]f(x)=q(x)\,(x+1)\,(x-1)+ax+b[/tex3]
[tex3]f(-1)=q(-1)\,(-1+1)\,(-1-1)+a(-1)+b\rightarrow f(-1)=-a+b\rightarrow -a+b=1[/tex3]
[tex3]f(1)=q(1)\,(1+1)\,(1-1)+a(1)+b\rightarrow f(1)=a+b\rightarrow a+b=101[/tex3]
Resolvendo o sistema:
[tex3]\begin{cases}
-a+b=1 \\
a+b=101
\end{cases}[/tex3]
Temos [tex3]a=50\,\,e\,\,b=51[/tex3] , logo o resto é [tex3]R(x)=50x+51[/tex3]
[tex3]x^{2}-1=(x+1)\,(x-1)[/tex3]
Calculando o Resto de [tex3]\frac{f(x)}{x+1}=f(-1) \rightarrow f(-1)=1[/tex3]
Calculando o resto de [tex3]\frac{f(x)}{x-1}=f(1)\rightarrow f(1)=101[/tex3]
[tex3]\frac{f(x)}{x^{2}-1}=q(x)+R(x)[/tex3] , onde q é o quociente e R é o resto da divisão.
Como o quociente é um polinômio do 2º grau, R deverá ser um polinômio do 1º grau, então [tex3]R(x)=ax+b[/tex3]
Fazendo [tex3]f(x)=q(x)\,(x+1)\,(x-1)+ax+b[/tex3]
[tex3]f(-1)=q(-1)\,(-1+1)\,(-1-1)+a(-1)+b\rightarrow f(-1)=-a+b\rightarrow -a+b=1[/tex3]
[tex3]f(1)=q(1)\,(1+1)\,(1-1)+a(1)+b\rightarrow f(1)=a+b\rightarrow a+b=101[/tex3]
Resolvendo o sistema:
[tex3]\begin{cases}
-a+b=1 \\
a+b=101
\end{cases}[/tex3]
Temos [tex3]a=50\,\,e\,\,b=51[/tex3] , logo o resto é [tex3]R(x)=50x+51[/tex3]
Última edição: Thadeu (Ter 01 Mar, 2016 10:58). Total de 1 vez.
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