Ensino Médio

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Em uma PG, tem-se $a_1=\frac{25a^2}{4(a^2+1)}$ e $a_4=\frac{2(a^2+1)^2}{5a}$ , com $a>0$ .

a) Quais os valores de $a$ para que a PG seja crescente?
b) Qual o limite da soma dos termos para $q=a-\frac{1}{5}$ ?

P.G. : ([tex3]a_{1}[/tex3] ,[tex3]a_{1}[/tex3] q,[tex3]a_{1} q^{2}[/tex3] ,[tex3]a_{1}[/tex3] .[tex3]q^{3}[/tex3] )
Portanto, [tex3]a_{4} = a_{1}[/tex3] .[tex3]q^{3}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]a_{1[/tex3] .[tex3]q^{3}[/tex3] = [tex3]\frac{2(a^{2}+1)^{2}}{5a}[/tex3]
Igualando:
[tex3]\frac{25a^{2}.q^{3}}{4(a^2+1){}^{2}} = \frac{2(a^{2}+1)^{2}}{5a}[/tex3]
[tex3](5aq)^{3} = 2(a^{2}+1)^{3}[/tex3]
5aq=2([tex3](a^{2}+1)[/tex3]
q=[tex3]\frac{2a^{2}+2}{5a}[/tex3]
Como q>1, temos:
[tex3]\frac{2a^{2}+2}{5a}[/tex3] >1
[tex3]2a^{2}+2>5a[/tex3]
[tex3]2a^{2}+2-5a>0[/tex3]
[tex3]\Delta=25-16=9[/tex3]
a>[tex3]\frac{-b+\sqrt[2]{\Delta }}{4a}[/tex3]
a>[tex3]\frac{5\pm 3}{8}[/tex3]
a>1+1=> a>2 ou a>[tex3]\frac{1}{4}[/tex3] +1 => a>[tex3]\frac{1}{4}[/tex3] +1>[tex3]\frac{5}{4}[/tex3]

b)
[tex3]\lim S[/tex3] = [tex3]\frac{a_{1}}{1-q}[/tex3]
[tex3]\lim S = \frac{a_{1}}{1-a+\frac{1}{5}}[/tex3]
Agora so voce substituir o [tex3]a_{1}[/tex3] em funçao de a.

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