Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido

[minkowski]

Em um salão de festas há 6 janelas. De quantas maneiras podemos escolher quais janelas estarão abertas ou fechadas, de modo que pelo menos uma das janelas esteja aberta?

[csmarcelo]

Código: Selecionar tudo

[tex3]2^6-1[/tex3]

[jeabud]

csmarcelo, poderia explicar pq tirou -1?

Janela 1 temos duas opções: A ou F
Janela 2 - idem
...
Janela 6 - idem
2^6

Esse -1 é pq uma está aberta?

Mas n entendi a lógica se for isso...
Pq pelo menos uma aberta, teríamos 2^5, supondo q n última ela tinha q estar aberta então Janela 6 tem uma opção aberta

[csmarcelo]

Retirando o caso em que todas as janelas estão fechadas, ou seja, j1=F, j2=F,...,j6=F, sobrarão apenas os casos em que pelo menos uma está aberta.

Calcular diretamente os casos com pelo menos uma janela aberta é mais trabalhoso.

Uma janela aberta: [tex3]C^6_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_1[/tex3]

Duas janelas abertas: [tex3]C^6_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_2[/tex3]

Três janelas abertas: [tex3]C^6_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_3[/tex3]

Quatro janelas abertas: [tex3]C^6_4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_4[/tex3]

Cinco janelas abertas: [tex3]C^6_5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_5[/tex3]

Seis janelas abertas: [tex3]C^6_6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_6[/tex3]

Perfazendo, portanto, um total de [tex3]C^6_1+C^6_2+C^6_3+C^6_4+C^6_5+C^6_6=k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_1+C^6_2+C^6_3+C^6_4+C^6_5+C^6_6=k[/tex3]

casos.

E, sabendo que [tex3]\sum^n_{i=0}C^n_i=2^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum^n_{i=0}C^n_i=2^n[/tex3]

,

[tex3]\underbrace{C^6_0}_{=1}+k=2^6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{C^6_0}_{=1}+k=2^6[/tex3]

Portanto,

[tex3]k=2^6-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=2^6-1[/tex3]

[jeabud]

csmarcelo, obg entendi...

Esse -1 e o caso delas todas estarem fechadas n pensei nisso...obg