Ensino Médio ⇒ Pirâmide trapezoidal

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A base de uma pirâmide é um trapézio isósceles cujos lados paralelos são iguais a

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[tex3]a[/tex3]

e

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[tex3]b; (a>b)[/tex3]

. Cada face lateral é oblíqua a base fazendo um ângulo

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[tex3]\alpha[/tex3]

. Encontrar a área total da pirâmide.

Sem gabarito.

[jangofeet]

Up.

[Tassandro]

jangofeet,

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Considere os parâmetros auxiliares, h, altura do trapezio, L, lados não paralelos do trapézio, H, altura da pirâmide e d o apótema das faces. Como cada face é oblíqua à base fazendo um ângulo α, é necessário que todos os lados do trapézio estejam a uma mesma distância da projeção do vértice na base, garantindo que o trapézio seja circunscritível (daí a + b = 2L) e que, por consequência, todos os apótemas sejam iguais. Pela simetria do problema, essa distância vale metade da altura do trapézio. Visualize agora o triângulo retângulo de lados h/2, H e d, nele você relaciona os parâmetros h, H e d com o ângulo α [tex3]\(\frac{h/2}{d}=\cosα\)[/tex3]

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[tex3]\(\frac{h/2}{d}=\cosα\)[/tex3]

. No trapézio tem-se ainda a seguinte relação: [tex3]L^2 = \frac{(a-b)^2}{4} + h^2 \to h=\sqrt{ab}[/tex3]

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[tex3]L^2 = \frac{(a-b)^2}{4} + h^2 \to h=\sqrt{ab}[/tex3]

Logo, a área total será
[tex3]\boxed{S_{base}+S_{lateral}=\(\frac{(a+b)h}{2}\)+\frac{ad}2{}+\frac{bd}{2}+\frac{2Ld}{2}=\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{4\cosα}+\frac{(a+b)d}{2}}\tag*{}[/tex3]

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[tex3]\boxed{S_{base}+S_{lateral}=\(\frac{(a+b)h}{2}\)+\frac{ad}2{}+\frac{bd}{2}+\frac{2Ld}{2}=\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{4\cosα}+\frac{(a+b)d}{2}}\tag*{}[/tex3]