Ensino Médio ⇒ Conjuntos Tópico resolvido

[larissamcr]

Um clube oferece a seus associados aula de três modalidades: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pode se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas desses dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerrada as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi 17 e, para futebol, 38; o número de inscritos só parar as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para as aulas de futebol e natação?

[caju]

Olá larissamcr,

Vamos resolver através do diagrama de Venn-Euler. Note que o exercício diz que não há alunos que fazem Tenis e Futebol ao mesmo tempo, isso deve ser mostrado no diagrama.

Veja abaixo como fica o diagrama, já com alguns valores mostrados:

C1.png (46.1 KiB) Exibido 24457 vezes

Agora devemos preencher este diagrama com os valores de cada parte colorida.

O enunciado nos diz que são [tex3]50[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]50[/tex3]

os que fazem somente natação, ou seja, a parte amarela tem [tex3]50[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]50[/tex3]

elementos.
O enunciado nos diz que a parte verde tem [tex3]10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10[/tex3]

elementos a mais que a parte vermelha. Digamos que a parte vermelha tem [tex3]X[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]X[/tex3]

elementos e, assim, a parte verde terá [tex3]X+10.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]X+10.[/tex3]

Vamos dizer que a parte cinza tem [tex3]Y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y[/tex3]

elementos e a parte azul tem [tex3]Z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Z[/tex3]

elementos. Assim, o diagrama fica

C2.png (51.73 KiB) Exibido 24457 vezes

Agora veja que podemos somar os elementos de cada círculo e igualar ao total existente em cada círculo. Ficamos então com as equações:

• [tex3]\left\{X+Y=17\\X+10+Z=38\\50+Y+Z=85\right.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\left\{X+Y=17\\X+10+Z=38\\50+Y+Z=85\right.[/tex3]

Vamos somar as duas últimas equações e manter a primeira:

• [tex3]\left\{X+Y=17\\X+Y+2Z=63\right.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\left\{X+Y=17\\X+Y+2Z=63\right.[/tex3]

Podemos agora fazer a segunda menos a primeira:

• [tex3]2Z=46\rightarrow Z=23[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]2Z=46\rightarrow Z=23[/tex3]

Que é exatamente o que o exercício está querendo.

[larissamcr]

muito obrigado professor, esse fórum é muiito útil e o pessoal daqui tiram todas as dúvida, nota 10 ;D