Dispondo de algarismos do sistema de base 10 (0,1,2...9) pergunta-se:
Quantos números naturais de 4 algarismos distintos são ímpares?
Quantos são pares?
Resposta
Ímpares: 2240
Pares: 2296
Alguém por gentileza poderia me dizer o que estou errando?
Fiz assim:
Não pode começar por zero, então temos para o primeiro algarismo apenas 9 opções.
O segundo algarismo pode ser qualquer um, menos o primeiro já que têm que ser distintos... e assim por diante.
9 x 9 x 8 x [tex3]\alpha[/tex3]
___ x ___ x ___ x ___
A quarta posição tem que ser 1, 3, 5, 7 ou 9 (5 possibilidades): ___ x ___ x ___ x _5_.
A primeira posição não pode ser zero. Nem pode ser igual ao algarismo que já "queimamos" no preenchimento da quarta posição (10-2 possibilidades): _8_ x ___ x ___ x _5_.
A segunda posição pode ser zero, mas não pode ser igual a nenhum dos dois algarismos já "queimados" no preenchimento da primeira e quarta posições (10-2 possibilidades): _8_ x _8_ x ___ x _5_.
Finalmente, a terceira posição pode ser zero, mas não pode ser igual a nenhum dos algarismos já utilizados anteriormente (10-3 possibilidades): _8_ x _8_ x _7_ x _5_.
Para responder à segunda parte da questão, é recomendável aproveitar o resultado obtido na primeira parte.
O plano é obter o total de números de 4 algarismos distintos (pares e ímpares tudo junto). Subtraindo 2240 desse total, encontramos os que "não são ímpares". Ou seja, sobram os pares.
Obs: se fosse começar do zero para achar os pares sem achar os ímpares antes, a estratégia ainda pode ser a mesma, mas o grande mestre, saudoso, Professor Morgado julgava ser mais didático atingir a resposta de modo construtivo. Assista no Youtube, o "PAPMEM" "Problemas de Contagem" "Morgado" (acho que é 2002 ou 2003, antes da quimioterapia). Fácil de achar o video. Acho que essa questão é resolvida lá, provavelmente com 4 algarismos, exatamente como está aqui.
Voltando à vaca fria: o total de números com 4 algarismos distintos é assim: _9_ x _9_ x _8_ x _7_. Dá [tex3]81\times56=4536[/tex3]
Perdão reviver o post milenar, mas alguém poderia calcular os pares sem subtrair os ímpares do total? Eu estou tentando entender como o número de pares é diferente do de ímpares aqui.
O último algarismo deve ser um par, ou seja, deve estar em [tex3]\{0,2,4,6,8\}[/tex3]
Mas esse resultado é absurdo, pois o número total é 4536 e o de ímpares é 2240, logo o de pares deve ser 2296
De onde vieram esses pares a mais? Não consigo encontrar o erro e isso é relevante pois se a questão pedisse os pares primeiro, eu claramente erraria.
Edit: Eu tentei decompor 2296 pra ver qual produto resultaria nele, mas um dos fatores primos é 41, o que parece indicar que é impossível calcular o número de pares diretamente. Agora que eu não entendi nada mesmo hahaha
Editado pela última vez por ragefloyd em 26 Nov 2021, 01:49, em um total de 2 vezes.
O erro é que uma das condições do princípio multiplicativo foi violado. A primeira decisão tinha 5 opções mas a segunda tinha um número de opções que depende daquela que foi adotada na primeira.
Dos 5 pares, um era o 0. Se foi ele que você colocou na casa das unidades, seu leque na segunda decisão é diferente do leque que terá com qualquer outro dígito escolhido na primeira decisão.
@fabit Ahhh, sim, faz sentido. Então em casos em que uma escolha tem um número diferente de opções dependendo de uma escolha anterior o princípio de contagem não funciona. Muito obrigado pela resposta, fiquei muito tempo quebrando a cabeça com isso.
Na biblioteca de uma escola, cada um dos livros é registrado com um código formado por duas letras distintas e dois algarismos distintos. Para compor esse código, são utilizadas 26 letras e...
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o código é da forma: LLAA
item a)
número de letras: 26
número de algarismos: 10
então:
a primeira letra tem 26 possibilidades
a segunda letra tem 25 possibilidades
o primeiro algarismo tem 10...
Estou com dificuldade em simplificar esta expressão:
\frac{A_{n+1,2 + 2n+1}}{A_{n+1,1}}
Comecei assim:
\frac{\frac{n+1!}{2!}+ 2n+1}{\frac{n+1!}{1!}} =...
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Rah , parece-me que está considerando a fórmula de maneira equivocada!