Ensino MédioCombinatória - arranjo simples Tópico resolvido

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nina
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Combinatória - arranjo simples

Mensagem não lida por nina »

Dispondo de algarismos do sistema de base 10 (0,1,2...9) pergunta-se:

Quantos números naturais de 4 algarismos distintos são ímpares?
Quantos são pares?
Resposta

Ímpares: 2240
Pares: 2296


Alguém por gentileza poderia me dizer o que estou errando?
Fiz assim:
Não pode começar por zero, então temos para o primeiro algarismo apenas 9 opções.
O segundo algarismo pode ser qualquer um, menos o primeiro já que têm que ser distintos... e assim por diante.
9 x 9 x 8 x [tex3]\alpha[/tex3] onde [tex3]\alpha \in[/tex3] {1,3,5,7,9} Ou seja 5 opções.
Tendo fixado um ímpar e multiplicando pela quantidade de ímpares, terei 9x9x8x5=3240
Por que está errado?
Obrigada desde já.

Última edição: nina (Ter 07 Jul, 2015 00:18). Total de 1 vez.



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fabit
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Re: Combinatória - arranjo simples

Mensagem não lida por fabit »

A questão toda segue o princípio multiplicativo.

___ x ___ x ___ x ___
A quarta posição tem que ser 1, 3, 5, 7 ou 9 (5 possibilidades): ___ x ___ x ___ x _5_.

A primeira posição não pode ser zero. Nem pode ser igual ao algarismo que já "queimamos" no preenchimento da quarta posição (10-2 possibilidades): _8_ x ___ x ___ x _5_.

A segunda posição pode ser zero, mas não pode ser igual a nenhum dos dois algarismos já "queimados" no preenchimento da primeira e quarta posições (10-2 possibilidades): _8_ x _8_ x ___ x _5_.

Finalmente, a terceira posição pode ser zero, mas não pode ser igual a nenhum dos algarismos já utilizados anteriormente (10-3 possibilidades): _8_ x _8_ x _7_ x _5_.

[tex3]8\times7\times8\times5=56\times40=2240[/tex3] .

Para responder à segunda parte da questão, é recomendável aproveitar o resultado obtido na primeira parte.

O plano é obter o total de números de 4 algarismos distintos (pares e ímpares tudo junto). Subtraindo 2240 desse total, encontramos os que "não são ímpares". Ou seja, sobram os pares.

Obs: se fosse começar do zero para achar os pares sem achar os ímpares antes, a estratégia ainda pode ser a mesma, mas o grande mestre, saudoso, Professor Morgado julgava ser mais didático atingir a resposta de modo construtivo. Assista no Youtube, o "PAPMEM" "Problemas de Contagem" "Morgado" (acho que é 2002 ou 2003, antes da quimioterapia). Fácil de achar o video. Acho que essa questão é resolvida lá, provavelmente com 4 algarismos, exatamente como está aqui.

Voltando à vaca fria: o total de números com 4 algarismos distintos é assim: _9_ x _9_ x _8_ x _7_. Dá [tex3]81\times56=4536[/tex3] , dos quais 2240 são ímpares.

Então os pares são 4536-2240=2296.

Última edição: MateusQqMD (Sex 03 Dez, 2021 13:44). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


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ragefloyd
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Re: Combinatória - arranjo simples

Mensagem não lida por ragefloyd »

Perdão reviver o post milenar, mas alguém poderia calcular os pares sem subtrair os ímpares do total? Eu estou tentando entender como o número de pares é diferente do de ímpares aqui.

O último algarismo deve ser um par, ou seja, deve estar em [tex3]\{0,2,4,6,8\}[/tex3] , 5 opções:
___ ___ ___ _5_

O primeiro pode ser qualquer número, exceto 0 e o número utilizado para o último, ou seja, 8 opções:

_8_ ___ ___ _5_

O segundo pode ser qualquer número, exceto os dois já utilizados, ou seja, 8 opções:

_8_ _8_ ___ _5_

O terceiro pode ser qualquer número, exceto os três já utilizados, ou seja, 7 opções:

_8_ _8_ _7_ _5_ [tex3]\therefore n=8\cdot8\cdot7\cdot5=2240[/tex3]

Mas esse resultado é absurdo, pois o número total é 4536 e o de ímpares é 2240, logo o de pares deve ser 2296

De onde vieram esses pares a mais? Não consigo encontrar o erro e isso é relevante pois se a questão pedisse os pares primeiro, eu claramente erraria.

Edit: Eu tentei decompor 2296 pra ver qual produto resultaria nele, mas um dos fatores primos é 41, o que parece indicar que é impossível calcular o número de pares diretamente. Agora que eu não entendi nada mesmo hahaha
Última edição: ragefloyd (Sex 26 Nov, 2021 01:49). Total de 2 vezes.



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fabit
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Re: Combinatória - arranjo simples

Mensagem não lida por fabit »

O erro é que uma das condições do princípio multiplicativo foi violado. A primeira decisão tinha 5 opções mas a segunda tinha um número de opções que depende daquela que foi adotada na primeira.

Dos 5 pares, um era o 0. Se foi ele que você colocou na casa das unidades, seu leque na segunda decisão é diferente do leque que terá com qualquer outro dígito escolhido na primeira decisão.


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ragefloyd
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Re: Combinatória - arranjo simples

Mensagem não lida por ragefloyd »

@fabit Ahhh, sim, faz sentido. Então em casos em que uma escolha tem um número diferente de opções dependendo de uma escolha anterior o princípio de contagem não funciona. Muito obrigado pela resposta, fiquei muito tempo quebrando a cabeça com isso.




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