Ensino Médio ⇒ (Simulado IME) Análise Combinatória Tópico resolvido

[gabrielifce]

Dez cadeiras são igualmente espaçadas em torno de uma mesa redonda e numeradas no sentido horário. Cinco casais devem sentar-se nas cadeiras com homens e mulheres alternados, e ninguém pode sentar-se ao lado ou em frente ao seu cônjuge. Quantos arranjos nessa condições são possíveis?

Resposta

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480

[gabrielifce]

Upp

[Tassandro]

gabrielifce,
Vamos enumerar as cadeiras de 1 a 10. Vamos também enumerar os casais de 1 a 5. Finalmente vamos colocar os homens na ordem e nas posições ímpares: homem 1 na cadeira 1, homem 2 na cadeira 3, homem 3 na cadeira 5, homem 4 na cadeira 7, homem 5 na cadeira 9.

Perceba que cada mulher tem apenas duas possibilidades, pois as cadeiras ao lado e a cadeira em frente ao seu respectivo homem são proibidas.

A mulher 1 tem apenas duas possibilidades: cadeiras 4 e 8.

(1) mulher 1 na cadeira 4 implica: mulher 4 na cadeira 10 (única possibilidade), mulher 2 na cadeira 6 (única possibilidade), mulher 5 na cadeira 2 (única possibilidade) e mulher 3 na cadeira 8 (única possibilidade).

(2) mulher 1 na cadeira 8 implica: mulher 3 na cadeira 2 (única possibilidade), mulher 5 na cadeira 6 (única possibilidade), mulher 2 na cadeira 10 (única possibilidade), mulher 4 na cadeira 4 (única possibilidade).

Perceba que ao definirmos as posições dos cinco homens e de uma mulher, definimos a configuração final.

Temos 2 possibilidades para os homens em ordem nas cadeiras ímpares. Permutando os casais, temos 240 possibilidades com os homens nas cadeiras ímpares. Colocando os homens nas cadeiras pares (caso análogo), temos mais 240 possibilidades, o que resulta num total de 480.