Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Alan123** » Dom 31 Mai, 2015 16:05

No [tex3]\Delta[/tex3] ABC, AB = 2AC = 3/2 BC = 6 m. Calcule o comprimento da projeção de AC sobre AB.

Mensagem não lidapor **fabit** » Seg 01 Jun, 2015 09:56 · Mensagem não lida por **fabit** » Seg 01 Jun, 2015 09:56

Se fizer a figura com AB=6, AC=3 e BC=4, traçando a altura CH relativa a AB, o problema proposto acima é uma reprodução numérica da figura básica da demonstração da lei dos cossenos no caso de um ângulo agudo.

Se chamar [tex3]CH=h[/tex3] e [tex3]AH=x[/tex3] , temos [tex3]HB=6-x[/tex3] e montamos o sistema com dois Pitágoras:

[tex3]\begin{cases}4^2=h^2+(6-x)^2\\3^2=h^2+x^2\end{cases}[/tex3]
Subtraindo, [tex3]16-9=h^2+36-12x+x^2-h^2-x^2\Rightarrow7=36-12x[/tex3]

Logo [tex3]x=AH=\frac{36-7}{12}=\boxed{\frac{29}{12}}[/tex3] .

A demonstração da lei dos cossenos é só a eliminação desse x mediante trigonometria:

[tex3]\cos\hat{A}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow x=3\cos\hat{A}[/tex3] .

A solução dessa questão por lei dos cossenos é como um cachorro mordendo o rabo, ou seja, uma inversão de causalidade, mas ficaria assim:

[tex3]4^2=6^2+3^2-2\cdot6\cdot3\cdot\cos\hat{A}\Rightarrow\cos\hat{A}=\frac{36+9-16}{36}=\frac{29}{36}[/tex3]

Em seguida, [tex3]x=3\cdot\frac{29}{36}=\boxed{\frac{29}{12}}[/tex3] .

Mensagem não lidapor **Alan123** » Ter 02 Jun, 2015 10:14

A continuação da resolução eu entendi, só não entendi no começo como vc fez para achar o valor de AC e porque mudou os valores dos lados, sendo que BC = 6 e vc colocou que AB = 6 e BC = 4...
Grato.

Mensagem não lidapor **fabit** » Ter 02 Jun, 2015 13:33 · Mensagem não lida por **fabit** » Ter 02 Jun, 2015 13:33

Eu interpretei que o trecho a seguir foi escrito sem o código LaTeX:

Alan123 escreveu:... AB = 2AC = 3/2 BC = 6 m.

e portanto seu signifcado seria [tex3]AB=2AC=\frac{3}{2}BC=6[/tex3] , daí eu encontrei, separadamente:
[tex3]AB=6[/tex3] , [tex3]2AC=6\Rightarrow AC=3[/tex3] e [tex3]\frac{3}{2}BC=6\Rightarrow BC=4[/tex3] .

É isso.

Mensagem não lidapor **Alan123** » Qua 03 Jun, 2015 15:09

Sim foi escrito sem código LaTeX mesmo. É que eu não compreendi como você fez para encontrar essas medidas separadamente, ou seja, a explicação de como chegou a esses valores.

Mensagem não lidapor **fabit** » Qua 03 Jun, 2015 15:45 · Mensagem não lida por **fabit** » Qua 03 Jun, 2015 15:45

Pois então,

fabit escreveu:[tex3]AB=2AC=\frac{3}{2}BC=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB=2AC=\frac{3}{2}BC=6[/tex3]

significa:

[tex3]AB=6[/tex3] E TAMBÉM [tex3]2AC=6[/tex3] E TAMBÉM [tex3]\frac{3BC}{2}=6[/tex3] .

Portanto [tex3]AC=\frac{6}{2}=3[/tex3] e [tex3]BC=\frac{2\times6}{3}=4[/tex3]

O resto todo ficou claro?

Mensagem não lidapor **Alan123** » Sex 05 Jun, 2015 18:46

O resto está de boa, ficou claro sim; desculpe, mas a minha dificuldade está sendo ainda em compreender o começo; não entendi ainda porque AB é igual a 6, como chegou a isso ? e porque também 2AC é igual a 6 ? e porque mudou a medida de BC se já estava definida como 6, da forma que vc fez para dar esse outro valor a BC também não entendi.

Mensagem não lidapor **fabit** » Dom 07 Jun, 2015 23:36 · Mensagem não lida por **fabit** » Dom 07 Jun, 2015 23:36

Não é AB igual a 2 e AC igual a 3/2 e BC igual a 6!

É AB igual ao dobro de AC, que esse dobro de AC por sua vez equivale a 3/2 de BC, e que esses 3/2 de BC valem 6.

É uma cadeia de igualdades: [tex3]x=y=z=6[/tex3] significa que x=6, que y=6 e que z=6.

Hmm, ok, obrigado !

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